[论文解读] The Tur\'an number of blow-ups of trees

Andrzej Grzesik, Oliver Janzer+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文證明了Erdős於1967年提出的關於r-退化二分圖的Turán數猜想的兩個關鍵情形：複雜度至多為2的完全r-退化二分圖，以及樹的吹脹圖。作者利用超飽和技術與一種新型的輔助圖上的隨機遊走論證，確立了此類圖的Turán數為O(n^{2−1/r})，推廣了先前的結果，並確認了該猜想適用於包含所有樹吹脹圖在內的廣泛r-退化二分圖類別。

ABSTRACT

A conjecture of Erd\\H{o}s from 1967 asserts that any graph on $n$ vertices which does not contain a fixed $r$-degenerate bipartite graph $F$ has at most $Cn^{2-1/r}$ edges, where $C$ is a constant depending only on $F$. We show that this bound holds for a large family of $r$-degenerate bipartite graphs, including all $r$-degenerate blow-ups of trees. Our results generalise many previously proven cases of the Erd\\H{o}s conjecture, including the related results of F\\"uredi and Alon, Krivelevich and Sudakov. Our proof uses supersaturation and a random walk on an auxiliary graph.

研究动机与目标

• 解決Erdős（1967年）關於r-退化二分圖的Turán數的長期懸而未決猜想。
• 將極值圖函數邊界推廣至樹吹脹圖，這是一類重要的r-退化二分圖。
• 透過證明更廣泛圖族的猜想O(n^{2−1/r})邊界，推廣Füredi以及Alon–Krivelevich–Sudakov的結果。
• 建立一個通用框架，利用超飽和與輔助圖上的隨機遊走，以控制子圖嵌入。

提出的方法

• 構造一個輔助圖G，其頂點為宿主圖中r個頂點的集合，邊由共同鄰居定義。
• 利用超飽和技術確保密集的輔助圖G包含大量目標圖F的副本。
• 在輔助圖上應用隨機遊走，以尋找從樹吹脹圖到宿主圖的單射同態。
• 定義(r,t)-吹脹樹為一類結構化圖，其包含所有r-退化樹吹脹圖作為子圖。
• 透過樹大小的數學歸納法，將吹脹圖的每個獨立集嵌入至吹脹樹結構的指定集合中。
• 利用度數條件與機率界，證明隨機映射以高機率避免衝突，從而確保單射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 r-退化樹吹脹圖的Turán數是否滿足猜想的O(n^{2−1/r})邊界？
• RQ2 Erdős關於r-退化二分圖的猜想能否推廣至樹吹脹圖與低複雜度圖？
• RQ3 是否存在一種通用方法，利用隨機遊走與超飽和技術，將圖吹脹圖嵌入至結構化宿主圖中？
• RQ4 F[r]的Turán數能否以F的Turán數表示，且指數部分按1/r縮放？

主要发现

• 任何複雜度至多為2的完全r-退化二分圖的Turán數為O(n^{2−1/r})。
• r-吹脹樹T[r]（其中每個頂點被替換為大小為r的獨立集）的Turán數為O(n^{2−1/r})。
• 任何r-退化的樹吹脹圖均為某個(r,t)-吹脹樹的子圖（對適當的t），從而實現結構化嵌入。
• 在r-集合的輔助圖G上執行的隨機遊走，以正機率產生到G的單射同態，暗示原圖中存在吹脹圖的副本。
• 該方法確認了猜想3.1對樹成立，即當ex(n, F) = O(n^{2−α})時，ex(n, F[r]) = O(n^{2−α/r})。
• 該邊界對吹脹圖是緊確的，且可推廣至完全二分圖K_{s,t}[r] = K_{rs,rt}，從而也確認了此情形下的猜想。