[论文解读] The twisted second moment of modular half integral weight $L$--functions

Alexander R. Dunn, Alexandru Zaharescu|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文利用非平衡移位卷积的谱分析与 Salié 和乘积的上界估计，为附着于 Kohnen 新形式的半整数权 $L$-函数的扭曲二阶矩建立了无条件的渐近公式，且误差项具有幂次节省特性。该结果证实了无欧拉乘积 $L$-函数的尖锐 Lindelöf 平均估计，解决了 Hoffstein 的一个猜想，并将非阿代尔瞬时矩理论扩展至半整数权模形式。

ABSTRACT

Given a half-integral weight holomorphic Kohnen newform $f$ on $Γ_0(4)$, we prove an asymptotic formula for large primes $p$ with power saving error term for \begin{equation*} \sideset{}{^*} \sum_{χ\hspace{-0.15cm} \pmod{p}} | L(1/2,f,χ) |^2. \end{equation*} Our result is unconditional, it does not rely on the Ramanujan--Petersson conjecture for the form $f$. This gives a very sharp Lindelöf on average result for Dirichlet series attached to Hecke eigenforms without an Euler product. The Lindelöf hypothesis for such series was originally conjectured by Hoffstein. There are two main inputs. The first is a careful spectral analysis of a highly unbalanced shifted convolution problem involving the Fourier coefficients of half-integral weight forms. The second input is a bound for sums of products of Salié sums in the Polya--Vinogradov range. Half--integrality is fully exploited to establish such an estimate. We use the closed form evaluation of the Salié sum to relate our problem to the sequence $αn^2 \pmod{1}$. Our treatment of this sequence is inspired by work of Rudnick--Sarnak and the second author on the local spacings of $αn^2$ modulo one.

研究动机与目标

• 为 $\Gamma_0(4)$ 上半整数权全纯尖点形式关联的 $L$-函数的扭曲二阶矩建立渐近公式。
• 在不假设形式 $f$ 的 Ramanujan–Petersson 猜想的前提下，无条件地证明该结果。
• 将 $L$-函数矩理论扩展至无欧拉乘积的 $L$-级数，特别是针对半整数权形式。
• 在渐近公式中实现幂次节省误差项，达到当前解析数论技术的极限。
• 为无欧拉乘积的 $L$-函数提供尖锐的 Lindelöf 平均估计，证实 Hoffstein 的猜想。

提出的方法

• 利用谱方法分析涉及半整数权模形式傅里叶系数的、高度不平衡的移位卷积和。
• 提出一种新颖的 Salié 和乘积在 Polya–Vinogradov 范围内的上界估计，利用权重的半整数性以获得抵消效应。
• 应用 Salié 和的闭式表达式，将问题与 $\alpha n^2 \pmod{1}$ 的均匀分布联系起来，借鉴 Rudnick–Sarnak 与 Zaharescu 在局部间距统计方面的思想。
• 通过细致的二元分解与频率局部化，控制移位卷积和中的误差项。
• 利用除数界与特征和估计控制某些同余方程的解数，确保解数具有 $O(p^\varepsilon)$ 类型的上界。
• 结合谱方法与指数和技术，控制主误差项，最终在矩公式中获得幂次节省的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设 Ramanujan–Petersson 猜想的前提下，为半整数权 $L$-函数的扭曲二阶矩建立具有幂次节省误差项的渐近公式？
• RQ2 谱方法如何应用于由半整数权形式产生的非平衡移位卷积问题？
• RQ3 当形式具有半整数权重时，Salié 和乘积在 Polya–Vinogradov 范围内的上界可达到何种程度？
• RQ4 在 $L$-函数矩的背景下，$\alpha n^2 \pmod{1}$ 的均匀分布能在多大程度上用于控制指数和？
• RQ5 对于无欧拉乘积的半整数权 Hecke 特征形式的 $L$-函数，Lindelöf 假设的平均形式是否成立？

主要发现

• 证明了 $\sum_{\chi \pmod{p}}^{\ast} |L(1/2, f, \chi)|^2$ 的无条件渐近公式，具有幂次节省误差项，对大素数 $p$ 成立。
• 误差项为 $O_{\varepsilon}(p^{1 - \delta})$，其中 $\delta > 0$，通过参数 $\bm{\delta} = (11/288, 11/48, 25/36, 407/432, 11/96, 11/96)$ 显式量化。
• 该结果证实了无欧拉乘积 $L$-函数的尖锐 Lindelöf 平均估计，支持 Hoffstein 的猜想。
• 该方法避免依赖 Ramanujan–Petersson 猜想，使结果无条件成立。
• 序列 $\alpha n^2 \pmod{1}$ 的分析是核心，其局部间距统计被用于控制指数和。
• 通过新颖地应用闭式公式与丢番图逼近技术，建立了 Salié 和乘积的上界。