[论文解读] The Ultraviolet Structure of Quantum Field Theories. Part 1: Quantum Mechanics

Djordje Radicevic|arXiv (Cornell University)|May 24, 2021

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文提出了一套系统性框架——taming——通过在波函数上施加光滑性和紧致性约束，从有限维格点理论推导出连续量子力学。它表明，正则对易关系、接触项、时空对称性以及超对称代数在可驯化子空间中自然涌现，并证明任何格点超对称理论的Witten指标必为零。

ABSTRACT

This paper fires the opening salvo in the systematic construction of the lattice-continuum correspondence, a precise dictionary that describes the emergence of continuum quantum theories from finite, nonperturbatively defined models ("lattice theories"). Here the focus will be on quantum field theory in (0+1)D, i.e. quantum mechanics. The main conceptual achievement is an explicit and systematic procedure for reducing a theory with a large but finite Hilbert space to a subtheory in which wavefunctions satisfy prescribed smoothness and compactness constraints. This reduction, here named taming, in effect defines quantum mechanics on a continuum target space. When appropriate lattice theories are tamed, many familiar continuum notions explicitly emerge, e.g. canonical commutation relations, contact terms in correlation functions, continuous spacetime symmetries, and supersymmetry algebras. All of these are thus "put on the lattice" using the present framework. This analysis also leads to further insights into old subjects: for example, it is proven that any supersymmetric lattice theory must have a vanishing Witten index.

研究动机与目标

• 通过聚焦于有限希尔伯特空间的子空间，建立量子场论中格点-连续对应关系的严格、系统性框架。
• 通过构建非微扰、有限的模型，不依赖泛函分析，解决QFT中的基础性问题，实现类似连续的行为。
• 证明关键的连续结构——如对易关系、接触项和时空对称性——可通过受控约化从格点系统中自然涌现。
• 在有限希尔伯特空间中分析超对称性，并证明在任何格点实现的精确SUSY中，Witten指标必为零。
• 通过目标空间taming和空间平滑化，为将该框架推广至高维QFT提供蓝图。

提出的方法

• 引入一种称为'taming'的程序，将大但有限的希尔伯特空间投影到波函数满足光滑性和紧致性约束的子空间。
• 通过受控约化（平滑化与taming）钟代数，以任意精度近似连续量子力学模型。
• 通过限制每步时间插入的态的集合，表达路径积分形式，得到具有熟悉二次型的有效作用量。
• 在路径积分中应用不受控的时间平滑化，并辅以反项，以恢复类似连续的行为和关联函数。
• 在有限希尔伯特空间上构建一个非拉格朗日、最小的超对称模型，并表明SUSY代数仅在taming后才显现。
• 利用基于格点的鞍点求和定义，并通过taming程序区分紧致与非紧致QM。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从有限、非微扰定义的格点理论推导出连续量子力学？
• RQ2 在何种条件下，格点模型中会涌现出正则对易关系和关联函数中的接触项？
• RQ3 能否在有限希尔伯特空间中实现时空对称性和超对称代数？若能，如何实现？
• RQ4 精确超对称对格点理论施加了何种约束，特别是对Witten指标而言？
• RQ5 taming程序如何在有限框架中实现类似连续结构的涌现？

主要发现

• taming程序成功以任意精度从有限钟代数中恢复了ℝ和S¹上的自由粒子、谐振子以及超对称谐振子。
• 当适当地选择taming参数时，格点上的路径积分形式产生具有标准二次型的有效作用量，且路径积分结果按方程(5.27)逼近精确结果。
• 关联函数中的反项和接触项自然源于基于格点的平滑化与taming程序，为这些连续特征提供了非微扰起源。
• 时空对称性，包括重参数化不变性，在适当taming与平滑化后从格点中涌现，即使不存在显式的连续结构亦然。
• 任何具有精确超对称性的格点理论的Witten指标必须为零，意味着所有态至少为简并二重。
• 超对称代数及玻色子与费米子之间的对称性仅在taming后才显现，表明该对称性在可驯化子空间中是涌现的。