[论文解读] The universal factorial Hall-Littlewood $P$- and $Q$-functions

Masaki Nakagawa, Hiroshi Naruse|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

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一句话总结

本文通过通用形式群律引入了通用阶乘 Hall–Littlewood $P$-和 $Q$-函数，将普通 Hall–Littlewood 多项式推广至复 cobordism 理论。它建立了这些函数的零化性质，推导出类 Pieri 公式和广义钩长公式，并通过旗丛中的 Gysin 映射对它们进行几何刻画，从而得到生成函数以及 $K$-理论 $Q$-多项式的 Pfaffian 公式。

ABSTRACT

In this paper, we introduce {\it factorial} analogues of the ordinary Hall--Littlewood $P$- and $Q$-polynomials, which we call the {\it factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-polynomials}. Using the {\it universal} formal group law, we further generalize these polynomials to the {\it universal factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-functions}. We show that these functions satisfy the {\it vanishing property} which the ordinary factorial Schur $S$-, $P$-, and $Q$-polynomials have. By the vanishing property, we derive the Pieri-type formula and a certain generalization of the classical hook formula. We then characterize our functions in terms of Gysin maps from flag bundles in the complex cobordism theory. Using this characterization and Gysin formulas for flag bundles, we can obtain generating functions for the universal factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-functions. Using our generating functions, we can show that our factorial Hall--Littlewood $P$- and $Q$-polynomials have a certain {\it cancellation property}. Further applications such as Pfaffian formulas for $K$-theoretic factorial $Q$-polynomials are also given.

研究动机与目标

• 将普通 Hall–Littlewood $P$-和 $Q$-多项式通过通用形式群律推广为阶乘与通用版本。
• 通过复 cobordism 理论中旗丛的 Gysin 映射，对这些函数进行几何刻画。
• 利用拓扑 Gysin 公式，为通用阶乘 Hall–Littlewood 函数推导生成函数。
• 利用生成函数证明阶乘 Hall–Littlewood 多项式中的消去性质。
• 基于所提出的生成函数，为 $K$-理论阶乘 $Q$-多项式提供 Pfaffian 公式。

提出的方法

• 通过对称群陪集上的求和，定义通用阶乘 Hall–Littlewood $P$-和 $Q$-函数 $HP^{bL}_{m{ u}}(m{x}_n;t|m{b})$ 和 $HQ^{bL}_{m{ u}}(m{x}_n;t|m{b})$，并引入通用形式群律 $+_{bL}$。
• 利用这些函数的零化性质，推导出类 Pieri 公式和广义钩长公式。
• 通过复 cobordism 理论中旗丛的 Gysin 映射，对函数进行几何刻画。
• 利用 Gysin 公式和形式群律恒等式，构造通用函数的生成函数。
• 应用生成函数，证明阶乘 Hall–Littlewood 多项式中的消去性质。
• 对对偶 $K$-理论 $Q$-多项式 $gq_{ u}(m{y}_n)$ 提出一个生成函数猜想，由此导出 Pfaffian 公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过通用形式群律将普通 Hall–Littlewood $P$-和 $Q$-多项式推广为通用阶乘版本？
• RQ2 这些通用函数在复 cobordism 理论中具有何种几何或拓扑解释？
• RQ3 能否利用 Gysin 公式为通用阶乘 Hall–Littlewood $P$-和 $Q$-函数推导出生成函数？
• RQ4 阶乘 Hall–Littlewood 多项式满足何种消去性质，其证明方法为何？
• RQ5 是否存在 $K$-理论阶乘 $Q$-多项式的 Pfaffian 公式，且能否从所提出的生成函数中推导出？

主要发现

• 通用阶乘 Hall–Littlewood $P$-和 $Q$-函数满足类似于阶乘 Schur 函数的零化性质。
• 基于其零化性质，推导出适用于通用函数的类 Pieri 公式。
• 广义钩长公式作为零化性质的推论而获得。
• 这些函数通过复 cobordism 理论中旗丛的 Gysin 映射得到几何刻画。
• 利用 Gysin 公式和通用形式群律，构造出通用函数的生成函数。
• 在假设 $gq_{ u}(m{y}_n)$ 是 $gq(m{z}_r)$ 中 $m{z}^{ u}$ 的系数的前提下，导出了 $K$-理论阶乘 $Q$-多项式 $gq_{ u}(m{y}_n)$ 的 Pfaffian 公式。