[论文解读] The Universal Gerbe and Local Family Index Theory

Alan L. Carey, Bai‐Ling Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文通过通用主丛与局部族指标定理，统一了具有几何意义的主丛——如行列式主丛与指标主丛。结果表明，所有此类主丛均具有一个典范联络，其曲率形式为偶数阶艾塔形式的二阶部分（模去恰当形式），从而为具有或不具有边界的流形上的指标理论主丛提供了统一框架。

ABSTRACT

The goal of this paper is to apply the universal gerbe developed in [CMi1] and [CMi2] and the local family index theorems to give a unified viewpoint on the known examples of geometrically interesting gerbes, including the determinant bundle gerbes in [CMMi1], the index gerbe in [L] for a family of Dirac operators on odd dimensional closed manifolds. We also discuss the associated gerbes for a family of Dirac operators on odd dimensional manifolds with boundary, and for a pair of Melrose-Piazza’s Cl(1)-spectral sections for a family of Dirac operators on even dimensional closed manifolds with vanishing index in K-theory. The common feature of these bundle gerbes is that there exists a canonical bundle gerbe connection whose curving is given by the degree 2 part of the even eta-form (up to an exact form) arising from the local family index theorem. 1

研究动机与目标

• 利用通用主丛构造法统一已知的具有几何意义的主丛示例。
• 将局部族指标定理的框架扩展至包含边界及谱截面的流形。
• 建立一个典范主丛联络，其曲率形式源自偶数阶艾塔形式。
• 阐明偶数阶艾塔形式的二阶部分在不同几何设定下对指标主丛的作用。
• 在奇数维与偶数维设定下，为主丛提供一致的指标理论解释。

提出的方法

• 利用 [CMi1] 和 [CMi2] 中的通用主丛作为构造几何主丛的基础结构。
• 应用局部族指标定理，将主丛联络的曲率与偶数阶艾塔形式关联。
• 将典范主丛联络的曲率定义为偶数阶艾塔形式的二阶分量（模去恰当形式）。
• 将构造方法扩展至具有边界的奇数维流形上的狄拉克算子族。
• 将梅尔罗兹-皮亚扎的 Cl(1)-谱截面纳入偶数维闭流形且指标为零的情形。
• 通过指标理论恒等式，建立曲率在不同几何与拓扑设定下的统一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用通用主丛统一已知的具有几何意义的主丛示例？
• RQ2 典范主丛联络的曲率与局部族指标理论中偶数阶艾塔形式之间的确切关系为何？
• RQ3 该构造如何推广至具有边界的奇数维流形上的狄拉克算子族？
• RQ4 梅尔罗兹-皮亚扎的 Cl(1)-谱截面在定义偶数维流形（指标为零）的指标主丛中起何作用？
• RQ5 偶数阶艾塔形式的二阶部分以何种方式决定典范主丛联络的曲率？

主要发现

• 在所有考虑的几何主丛上，典范主丛联络的曲率等于偶数阶艾塔形式的二阶部分（模去恰当形式）。
• 该构造在行列式主丛、奇数维闭流形上的指标主丛，以及奇数维带边流形上的主丛上均具有一致性。
• 对于指标为零的偶数维闭流形，相关主丛由一对梅尔罗兹-皮亚扎的 Cl(1)-谱截面生成。
• 由于局部族指标定理中偶数阶艾塔形式的结构，曲率在局部平凡化选择下保持不变。
• 该框架在多种几何设定下为主丛提供了统一的指标理论解释。
• 结果表明，偶数阶艾塔形式的二阶分量是此类指标主丛的通用曲率成分。