[论文解读] The *-Vertex-Reinforced Jump Process

Christophe Sabot, Pierre Tarrès|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文引入了$\star$-顶点增强跳跃过程（$\star$-VRJP），即VRJP的非可逆连续时间推广，通过在顶点上引入$\star$-对合来建模非对称增强。尽管缺乏部分交换性，作者证明在随机化初始局部时间后，$\star$-VRJP成为Yaglom可逆马尔可夫跳跃过程的混合，而非随机化版本则是条件化过程的混合，从而为该过程及其长期行为建立了关键表示形式。

ABSTRACT

We investigate the non-reversible generalization of the Vertex-Reinforced Jump Process (VRJP), called the *-Vertex-Reinforced Jump Process (*-VRJP) and introduced by Bacallado, Sabot and Tarr\\`es (2020). It can be seen as the continuous-time counterpart to the *-Edge-Reinforced Random Walk (*-ERRW), see Bacallado (2011) and Bacallado, Sabot and Tarr\\`es (2020), which is itself a non-reversible, and in fact Yaglom reversible, generalization of the original ERRW introduced by Coppersmith and Diaconis (1986). In contrast to the classical VRJP, the *-VRJP is not exchangeable after time-change, which leads to several difficulties and new phenomena. Firstly, we show that with some appropriate randomization of the initial local time, it becomes partially exchangeable after time-change. We provide a representation of the "randomized" *-VRJP as a mixture of Yaglom reversible Markov jump processes with an explicit mixing measure, and we prove that the non-randomized *-VRJP can be written as a mixture of conditioned Markov processes. Secondly, we give a representation of the *-VRJP in terms of a random Schr\\"odinger operator. The corresponding representation for the classical VRJP has proved to be very useful in the understanding of its asymptotic behavior. The construction is based on several new and rather remarkable identities between integrals on the space of *-symmetric and *-antisymmetric functions on vertices. We give a description of the randomized *-VRJP in terms of that random Schr\\"odinger operator, which allows us to prove the representation of the randomized *-VRJP as a mixture of Markov jump processes in a different and more analytic manner. Similarly as for the VRJP, we think that the representation by a random Schr\\"odinger operator and the associated identities are key-features of the *-VRJP.

研究动机与目标

• 开发顶点增强跳跃过程（VRJP）的非可逆推广，以在无向与有向增强机制之间实现插值。
• 解决$\star$-VRJP中缺乏交换性的问题，该问题使分析相较于经典VRJP更为复杂。
• 通过初始局部时间的随机化，建立$\star$-VRJP作为马尔可夫过程混合的表示。
• 证明非随机化的$\star$-VRJP在时间变换后可表示为条件化自相互作用跳跃过程的混合。
• 将VRJP与ERRW的框架扩展至具有$\star$-对称性的有向图，从而为常返性、遍历性及混合测度提供新见解。

提出的方法

• 在配备$\star$-对合的有向图$\mathcal{G}=(V,E)$上引入$\star$-VRJP，满足$ (i,j)\in E \iff (j^*,i^*)\in E $，转移率与$ W_{i,j} e^{T_i(t) + T_{j^*}(t)} $成比例。
• 通过$ s = C(t) = \sum_{i\in V} \log(1 + \frac{1}{2}(l_i^Z(s) + l_{i^*}^Z(s))) $进行时间变换，将过程转化为适合交换性分析的形式。
• 通过随机化初始局部时间恢复部分交换性，从而可应用de Finetti型表示。
• 证明随机化的$\star$-VRJP是Yaglom可逆马尔可夫跳跃过程的混合，其中可逆性定义为$ \pi_i K_{i,j} = \pi_{j^*} K_{j^*,i^*} $且$ \pi_i = \pi_{i^*} $。
• 利用离散Feynman-Kac型公式与泊松点过程耦合，将占用时间$ T_i(t) $与跳跃次数$ N_{i,j}(t) $关联，证明$ W_{i,j} e^{T_i(t) + T_{j^*}(t)} \sim N_{i,j}(t) $几乎必然成立。
• 通过在散度为零的向量空间上投影，并在首次返回起点后进行条件收敛，证明$ T(t) - t/N $收敛于$ \mathcal{U}_0^{W} $中的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个VRJP的非可逆推广，使其在随机化下保持混合测度与交换性等关键结构性质？
• RQ2 $\star$-VRJP在时间变换下行为如何？尽管缺乏交换性，能否表示为Yaglom可逆过程的混合？
• RQ3 在$\star$-VRJP中，占用时间$ T_i(t) $的渐近行为如何？$ T(t) - t/N $是否几乎必然收敛？
• RQ4 非随机化的$\star$-VRJP在时间变换后能否表示为条件化马尔可夫过程的混合？
• RQ5 边权的$\star$-不变性及对合$\star$如何影响过程的长期动态与混合测度？

主要发现

• $\star$-VRJP在其原始形式下不具备部分交换性，与经典VRJP不同，这引入了显著的分析挑战。
• 通过适当的初始局部时间随机化，$\star$-VRJP在时间变换后成为部分交换的，并可表示为Yaglom可逆马尔可夫跳跃过程的混合。
• 极限局部时间向量$ T(t) - t/N $几乎必然收敛至$ \mathcal{U}_0^{W} $中的某一点，即相对于电导权重的散度为零的向量空间。
• 非随机化的$\star$-VRJP在适当的时变后可表示为条件化自相互作用跳跃过程的混合。
• 比率$ N_{i,j}(t) / \sum_{(k,l)\in \tilde{E}} N_{k,l}(t) $几乎必然收敛至一个随机变量$ x_{i,j} $，意味着$ W_{i,j} e^{T_i(t) + T_{j^*}(t)} \sim N_{i,j}(t) $几乎必然成立。
• 在首次返回起点$ i_0 $后，过程以更新后的电导权重$ W^{T(\tau)}_{i_0} $重启，且$ T(t) - t/N $的收敛性在返回时间$ \tau $的条件下成立。