[论文解读] The Voisin map via families of extensions

Huachen Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 7

一句话总结

该论文通过证明对不包含平面的立方四叠面 $ Y $，其 Voisin 映射 $ v: F(Y) \times F(Y) \dashrightarrow Z(Y) $ 的不定点通过将相交轨迹 $ \Gamma \subset F(Y) \times F(Y) $ 进行爆破而被消除，从而解决了该映射。对于非常一般的 $ Y $，该爆破是 $ Z(Y) $ 上的相对 Quot 模式，参数化 Kuznetsov 类别中的商，从而通过导出范畴中的扩张族给出了 Voisin 映射的模形式解释。

ABSTRACT

We prove that given a cubic fourfold $Y$ not containing any plane, the Voisin map $v: F(Y) imes F(Y) \dashrightarrow Z(Y)$ constructed in \cite{Voi}, where $F(Y)$ is the variety of lines and $Z(Y)$ is the Lehn-Lehn-Sorger-van Straten eightfold, can be resolved by blowing up the incident locus $Γ\subset F(Y) imes F(Y)$ endowed with the reduced scheme structure. Moreover, if $Y$ is very general, then this blowup is a relative Quot scheme over $Z(Y)$ parametrizing quotients in a heart of a Kuznetsov component of $Y.$

研究动机与目标

• 解决有理 Voisin 映射 $ v: F(Y) \times F(Y) \dashrightarrow Z(Y) $，该映射在相交轨迹 $ \Gamma $ 上未定义，其中 $ Y $ 中的直线相交。
• 利用 Kuznetsov 类别 $ Ku(Y) $ 中非分裂扩张族的几何解释，借助 Bridgeland 稳定性条件，对 Voisin 映射进行几何解释。
• 证明对 $ F(Y) \times F(Y) $ 沿 $ \Gamma $ 的爆破消除了该映射的奇点，并且对非常一般的 $ Y $，该爆破可实现为 $ Z(Y) $ 上的相对 Quot 模式。

提出的方法

• 利用导出范畴分解 $ D^b(Y) = \langle Ku(Y), \mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y(1), \mathcal{O}_Y(2) \rangle $，聚焦于控制 $ Y $ 几何结构的 Kuznetsov 分量 $ Ku(Y) $。
• 在 Bridgeland 稳定性条件 $ \sigma $ 下，将 $ F(Y) $ 和 $ Z(Y) $ 实现为 $ Ku(Y) $ 中稳定对象的模空间，其类分别为 $ \lambda_1 $、$ \lambda_1 + \lambda_2 $ 和 $ 2\lambda_1 + \lambda_2 $。
• 通过导出 Hom 范畴 $ R\mathcal{H}om_f $ 构造对普遍族 $ \mathcal{P} $ 和 $ \mathcal{F} $ 的非分裂扩张族的函子，利用 $ \text{Hom}(\mathcal{O}_T, Lg^* R\mathcal{H}om_f(\mathcal{P}, \mathcal{F})[1]) $ 确保基变换兼容性。
• 证明此类扩张的函子由爆破 $ \text{Bl}_\Gamma(M_\sigma(\lambda_1) \times M_\sigma(\lambda_1 + \lambda_2)) $ 表示，从而消除了 Voisin 映射。
• 对一个全局扩张进行初等变换，构造一个处处非分裂的族，从而得到一个普遍商，并将爆破实现为 $ Z(Y) $ 上的相对 Quot 模式。
• 利用导出 Torelli 定理和格理论结果分析 $ Y $ 为 Hodge 特殊的情形，证明即使在非常一般假设不成立时，该映射的次数仍为六。

实验结果

研究问题

• RQ1 Voisin 映射 $ v: F(Y) \times F(Y) \dashrightarrow Z(Y) $ 能否通过域的几何修改被消除？若能，是哪种修改？
• RQ2 对 $ F(Y) \times F(Y) $ 沿相交轨迹 $ \Gamma $ 的爆破是否是 Voisin 映射的自然紧化？它是否具有模解释？
• RQ3 对非常一般的立方四叠面，该消去后的 Voisin 映射是否同构于 $ Z(Y) $ 上的相对 Quot 模式？若是，它参数化哪类对象？
• RQ4 当 $ Y $ 不是非常一般时，Voisin 映射的次数是否仍为六？能否通过导出或格理论计算加以解释？

主要发现

• Voisin 映射 $ v: F(Y) \times F(Y) \dashrightarrow Z(Y) $ 通过爆破相交轨迹 $ \Gamma \subset F(Y) \times F(Y) $ 得到消除，其中 $ \Gamma $ 是相交直线对的集合。
• 爆破 $ \text{Bl}_\Gamma(F(Y) \times F(Y)) $ 同构于 $ Ku(Y) $ 中类为 $ \lambda_1 $ 和 $ \lambda_1 + \lambda_2 $ 的稳定对象的非分裂扩张族的模空间，其类为 $ 2\lambda_1 + \lambda_2 $。
• 对非常一般的 $ Y $，该爆破是 $ Z(Y) $ 上的相对 Quot 模式，参数化 Kuznetsov 类别心 $ \mathcal{A} $ 中类为 $ \lambda_1 + \lambda_2 $ 的商。
• 消去映射 $ q: \text{Bl}_\Gamma(F(Y) \times F(Y)) \to Z(Y) $ 是满射且次数为六，与 Voisin 的原始构造一致。
• 在 Hodge 特殊情形 $ Y \in \mathcal{C}_d $ 下，次数仍为六，通过计算 Hilbert 模式 $ S^{[2]} $ 上一个典型丛 $ V^{[2]} $ 的上 Chern 类 $ c_4(V^{[2]}) $ 得到，其结果为六个到两个点理想层的满射。
• 该构造依赖于使用 $ \text{Hom}(\mathcal{O}_T, Lg^* R\mathcal{H}om_f(\mathcal{P}, \mathcal{F})[1]) $ 的精细扩张族函子，该函子确保基变换兼容性，并实现模解释。