[论文解读] The volume of Kähler-Einstein Fano varieties and convex bodies

Robert J. Berman, Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用 10

一句话总结

本文证明了在具有有限个不动点的复射影空间 $\mathbb{P}^n$ 是具有复 $\mathbb{C}^*$-作用的 $n$-维凯勒-爱因斯坦法诺流形中体积最大的。通过在含 $\mathbb{C}^*$-作用不动点的斯坦域上使用 $S^1$-不变的莫泽-特鲁迪纳不等式及辛几何，作者证明了体积上界 $c_1(X)^n \leq (n+1)^n$，借助环面对应关系，确认了对一大类有理多面体的艾尔哈特猜想，并将其推广至球对称流形和奥古诺夫体。

ABSTRACT

We show that the complex projective space has maximal degree (volume) among all n-dimensional Kahler-Einstein Fano manifolds admitting a holomorphic C^*-action with a finite number of fixed points. The toric version of this result, translated to the realm of convex geometry, thus confirms Ehrhart's volume conjecture for a large class of rational polytopes, including duals of lattice polytopes. The case of spherical varieties/multiplicity free symplectic manifolds is also discussed. The proof uses Moser-Trudinger type inequalities for Stein domains and also leads to criticality results for mean field type equations in C^n of independent interest. The paper supersedes our previous preprint concerning the case of toric Fano manifolds.

研究动机与目标

• 在对称性条件下，建立凯勒-爱因斯坦法诺流形体积的精确上界。
• 通过环面对应关系，确认一大类有理多面体的艾尔哈特体积猜想。
• 将体积极大化结果推广至球对称法诺流形及无重数辛流形。
• 通过矩多面体与杜斯特曼-赫克曼测度，建立凯勒-爱因斯坦度量存在性与凸几何之间的联系。
• 探讨奥古诺夫体在编码法诺与凯勒-爱因斯坦条件中的作用。

提出的方法

• 证明依赖于包含 $\mathbb{C}^*$-作用不动点的斯坦域上的 $S^1$-不变莫泽-特鲁迪纳型不等式。
• 作者利用存在一个具有吸引不动点的全纯 $S^1$-作用，构造了满足不等式条件的合适区域。
• 法诺流形的体积与矩多面体 $P$ 上杜斯特曼-赫克曼测度 $v(p)\,dp$ 的积分相关。
• 对于环面流形，体积表示为 $\int_P v(p)\,dp$，其中 $v(p)$ 由对正根与 $p$ 正配对的乘积给出，并归一化为单位体积。
• 通过辛几何中的矩映射与紧李群 $K$ 的无重数作用，该方法可推广至球对称流形，从而导出辛体积公式。
• 该方法可推广至奇异凯勒-爱因斯坦度量与弱法诺流形，此时引入 Ricci 曲率下确界 $R(X)$，得到修正后的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 $\mathbb{C}^*$-作用且不动点有限的 $n$-维凯勒-爱因斯坦法诺流形中，$\mathbb{P}^n$ 是否实现体积最大化？
• RQ2 能否通过环面对应关系，确认艾尔哈特关于有理多面体最大体积的猜想，适用于格点多面体的对偶？
• RQ3 杜斯特曼-赫克曼测度在编码球对称法诺流形体积中起什么作用？
• RQ4 凯勒-爱因斯坦度量的存在性如何约束无重数辛流形中矩多面体的几何结构？
• RQ5 能否用流形的奥古诺夫体 $\Delta$ 来刻画法诺与凯勒-爱因斯坦条件？

主要发现

• 任何具有 $\mathbb{C}^*$-作用且不动点有限的 $n$-维凯勒-爱因斯坦法诺流形，其体积满足 $c_1(X)^n \leq (n+1)^n$，且等号成立当且仅当 $X = \mathbb{P}^n$。
• 该结果的环面版本确认了对格点多面体对偶及满足质心条件的反射性德扎朗多面体的艾尔哈特体积猜想。
• 对于具有凯勒-爱因斯坦度量的球对称法诺流形，其在矩多面体 $P$ 上的体积积分满足 $\int_P v(p)\,dp \leq (n+1)^n / n!$，且对 $\mathbb{P}^n$ 配备法伯尼-斯图迪形式时取等。
• 当引入 Ricci 曲率下确界 $R(X)$ 时，该结果可推广至弱法诺流形，得到 $c_1(X)^n \leq (n+1)^n / R(X)^n$。
• 在齐性纤维化情形下，若 $\sum_{\alpha \in R^+} \alpha$ 是多面体 $P$ 关于杜斯特曼-赫克曼测度的质心，则该条件刻画了具有凯勒-爱因斯坦度量的法诺流形。
• 本文通过体积上界，为球对称法诺流形上凯勒-爱因斯坦度量的存在性提供了新的障碍条件。