[论文解读] The Yamabe problem with singularities

Farid Madani|ArXiv.org|Apr 10, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文将经典的Yamabe问题推广至具有奇异度量的黎曼流形，通过证明存在具有 $ L^p $-系数（$ p > n/2 $）的Yamabe型方程的正则正解，实现了这一推广。研究建立了精确的正则性估计，并表明在满足曲率条件（H）的度量下，总存在一个具有常数标量曲率的共形度量，从而将光滑Yamabe解推广至奇异情形。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a compact Riemannian manifold of dimension $n\geq 3$. Under some assumptions, we prove that there exists a positive function $φ$ solution of the following Yamabe type equation Δφ+ hφ= ilde h φ^{\frac{n+2}{n-2}} where $h\in L^p(M)$, $p>n/2$ and $ ilde h\in \mathbb R$. We give the regularity of $φ$ with respect to the value of $p$. Finally, we consider the results in geometry when $g$ is a singular Riemannian metric and $h=\frac{n-2}{4(n-1)}R_g$, where $R_g$ is the scalar curvature of $g$.

研究动机与目标

• 将经典的Yamabe问题推广至配备奇异度量的紧致黎曼流形，此时标量曲率未必光滑。
• 建立Yamabe型方程 $ \Delta_g\varphi + h\varphi = \tilde{h}\varphi^{\frac{n+2}{n-2}} $ 的正弱解的存在性与正则性，其中 $ h \in L^p(M) $，$ p > n/2 $。
• 证明在条件（H）——涉及Weyl张量与标量曲率的曲率条件——下，存在一个具有常数标量曲率的共形度量。
• 将Yamabe解的唯一性结果推广至奇异情形，当 $ \mu(g) \leq 0 $ 时，证明解彼此成比例。

提出的方法

• 利用变分法与泛函 $ \mu(g) = \inf_{\psi \in H^1(M) \setminus \{0\}} I_g(\psi) $，其中 $ I_g(\psi) = \frac{\int_M |\nabla\psi|^2 + \frac{n-2}{4(n-1)}R_g\psi^2 \, dv}{\|\psi\|_N^2} $，以最小化能量泛函。
• 应用椭圆方程的正则性理论：利用定理4证明，若弱解属于 $ H^1(M) $ 且 $ h \in L^p(M) $，$ p > n/2 $，则解属于 $ C^{1-[n/p],\beta}(M) $ 且为正。
• 通过辅助函数 $ H $ 与 $ F $ 使用截断技巧，以检验弱解并推导出 $ L^q $-可积性，从而可应用Sobolev嵌入与 $ H^p_2 $-正则性。
• 基于Green函数与共形正规坐标构造测试函数 $ \varphi_\varepsilon $，以估计 $ \mu(g) $，证明在条件（H）下有 $ \mu(g) < K^{-2}(n,2) $。
• 应用正质量定理与共形正规坐标（Lee–Parker）分析Green函数的渐近展开，并推导出曲率估计。
• 利用比较原理与最大值原理于比值 $ \psi = \varphi_1 / \varphi_2 $，证明当 $ \mu(g) \leq 0 $ 时解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于属于 $ H^p_2 $ 且 $ p > n $ 的奇异黎曼度量（即使标量曲率不光滑），Yamabe问题是否仍可解？
• RQ2 当 $ h \in L^p(M) $，$ p > n/2 $ 时，Yamabe型方程 $ \Delta_g\varphi + h\varphi = \tilde{h}\varphi^{\frac{n+2}{n-2}} $ 的解可保证何种正则性？
• RQ3 在何种几何条件下（如曲率界或Weyl张量行为），下确界 $ \mu(g) $ 满足 $ \mu(g) < K^{-2}(n,2) $，从而确保存在常数标量曲率的共形度量？
• RQ4 Yamabe解的唯一性（至多相差一个比例常数）是否可推广至奇异度量情形，当 $ \mu(g) \leq 0 $ 时？若可，需满足何种条件？

主要发现

• 对于任意维度 $ n \geq 3 $ 的紧致黎曼流形 $ (M,g) $，若 $ g \in H^p_2(M) $，$ p > n $，且满足条件（H），则存在正则解 $ \varphi \in H^p_2(M) $ 满足Yamabe型方程，且 $ \tilde{h} = \mu(g) $，从而共形度量 $ \tilde{g} = \varphi^{4/(n-2)}g $ 具有常数标量曲率。
• 当 $ h \in L^p(M) $，$ p > n/2 $ 时，Yamabe型方程的解 $ \varphi $ 属于 $ C^{1-[n/p],\beta}(M) $ 且为正，这是由 $ L^p $-正则性与最大值原理所保证。
• 若 $ (M,g) $ 不共形等价于标准球面且满足条件（H），则下确界 $ \mu(g) $ 满足 $ \mu(g) < K^{-2}(n,2) = \frac{1}{4}n(n-2)\omega_n^{2/n} $，从而通过变分法可保证解的存在性。
• 当 $ \mu(g) \leq 0 $ 时，所有Yamabe方程的正解彼此成比例，从而将唯一性结果推广至奇异情形。
• 证明依赖于利用Green函数与共形正规坐标构造测试函数 $ \varphi_\varepsilon $，得到估计 $ \mu(g) \leq K^{-2}(n,2) + c\varepsilon_0^2(c\rho_0 - A) $，并选择足够小的 $ \rho_0 $ 使得当 $ A > 0 $ 时有 $ \mu(g) < K^{-2}(n,2) $。
• 当 $ n = 6 $ 时，若 $ |W_g(P_0)| > 0 $，即Weyl张量在某点非零，则 $ \mu(g) < K^{-2}(n,2) $ 成立，从而确保不共形于球面。