[论文解读] Thermodynamically Consistent, Frame Indifferent Diffuse Interface Models for Incompressible Two-Phase Flows with Different Densities

Helmut Abels, Harald Garcke+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 17被引用 20

一句话总结

本文提出了一种热力学一致、与参考系无关的非压缩双相流扩散界面模型，适用于不同密度的流体，该模型通过理性连续介质力学推导得出。利用匹配渐近展开法，严格推导出尖锐界面极限，包括来自表面扩散的新项，并证明所有推导出的模型均满足自然能量不等式。

ABSTRACT

A new diffuse interface model for a two-phase flow of two incompressible fluids with different densities is introduced using methods from rational continuum mechanics. The model fulfills local and global dissipation inequalities and is frame indifferent. Moreover, it is generalized to situations with a soluble species. Using the method of matched asymptotic expansions we derive various sharp interface models in the limit when the interfacial thickness tends to zero. Depending on the scaling of the mobility in the diffusion equation we either derive classical sharp interface models or models where bulk or surface diffusion is possible in the limit. In the latter case a new term resulting from surface diffusion appears in the momentum balance at the interface. Finally, we show that all sharp interface models fulfill natural energy inequalities.

研究动机与目标

• 开发一种适用于不同流体密度的不可压缩双相流扩散界面模型，确保其满足热力学一致性与参考系无关性。
• 在现有模型（如 Model H 和 Lowengrub-Truskinovsky 模型）的基础上，通过引入可变密度效应，同时保持物理一致性。
• 通过匹配渐近展开法，严格推导出不同迁移率缩放下的尖锐界面极限。
• 识别并包含一个在迁移率适当缩放时于尖锐界面极限中出现的新表面扩散项。
• 证明所有推导出的尖锐界面模型均满足自然能量不等式，确保热力学稳定性。

提出的方法

• 通过理性连续介质力学构建扩散界面模型，确保满足局部与全局耗散不等式。
• 引入与 $\rho\hat{\sigma}(\varepsilon^{-1}\psi(c) + \varepsilon|\nabla c|^2/2)$ 成比例的自由能密度，其中 $\rho$ 为可变密度。
• 推导出包含毛细力项 $-\hat{\sigma}\varepsilon\operatorname{div}(\rho\nabla c \otimes \nabla c)$ 的动量方程，确保参考系无关性。
• 采用 Cahn-Hilliard 方程描述相场演化，引入迁移率 $m(c)$，并定义化学势 $\mu$ 以包含压力与曲率贡献。
• 在 $\varepsilon \to 0$ 的极限下应用匹配渐近展开法，从扩散界面系统推导出尖锐界面模型。
• 分析迁移率 $m$ 的缩放方式，以区分经典模型与允许在尖锐极限中出现体相或表面扩散的模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一种适用于不同密度的不可压缩双相流的扩散界面模型，以满足热力学一致性和参考系无关性？
• RQ2 在迁移率系数的不同缩放下，该扩散界面模型的尖锐界面极限是什么？
• RQ3 在尖锐界面极限中引入表面扩散是否会在界面处的动量平衡中产生新的物理项？
• RQ4 是否可以证明所有推导出的尖锐界面模型均满足自然能量不等式？
• RQ5 可变密度模型在数学与物理上与经典 Model H 和 Lowengrub-Truskinovsky 模型有何不同？

主要发现

• 所提出的扩散界面模型满足局部与全局耗散不等式，且具有参考系无关性，确保了热力学与物理一致性。
• 通过匹配渐近展开法，该模型可导出依赖于 Cahn-Hilliard 方程中迁移率 $m$ 缩放方式的尖锐界面极限。
• 当迁移率缩放为 $\varepsilon^2$ 时，界面处的动量平衡中出现来自表面扩散的新项，从而修正了经典尖锐界面模型。
• 在经典缩放下，该模型退化为包含表面张力与体相力的标准尖锐界面模型。
• 所有推导出的尖锐界面模型均满足自然能量不等式，证实了其热力学稳定性。
• 分析结果表明，可变密度模型能正确捕捉不同密度双相流的物理行为，包括正确的压力与化学势耦合。