[论文解读] Theta-stratifications, Theta-reductive stacks, and applications

Daniel Halpern-Leistner|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文引入了 $Θ$-stratifications 和 $Θ$-reductive stacks 作为分析代数几何中超出几何不变量理论的模问题的框架。它在 K-理论中建立了虚拟非交换局部化公式，推广了经典结果，并将该理论应用于推导出导出范畴和 Borel-Moore 同调的结构定理，包括在 K3 曲面上墙穿越时 Poincaré 多项式的不变性。

ABSTRACT

These are expanded notes on a lecture of the same title at the 2015 AMS summer institute in algebraic geometry. We give an introduction and overview of the "beyond geometric invariant theory" program for analyzing moduli problems in algebraic geometry. We discuss methods for analyzing stability in general moduli problems, focusing on the moduli of coherent sheaves on a smooth projective scheme as a toy example. We describe several applications: a general structure theorem for the derived category of coherent sheaves on an algebraic stack; some results on the topology of moduli stacks; and a "virtual non-abelian localization formula" in K-theory. We also propose a generalization of toric geometry to arbitrary compactifications of homogeneous spaces for algebraic groups, and formulate a conjecture on the Hodge theory of algebraic-symplectic stacks.

研究动机与目标

• 开发一个分析代数几何中模问题的一般性框架，其范围超越了几何不变量理论。
• 构建代数栈的 $Θ$-stratifications，使得每个层具有模解释，并更接近于拥有良好的模空间。
• 在 K-理论中建立一个虚拟非交换局部化公式，推广环面等变局部化定理。
• 证明具有 $Θ$-stratifications 的栈上凝聚层导出范畴的结构定理。
• 证明 K3 曲面上 Gieseker 半稳定层模栈的 Borel-Moore 同调的 Poincaré 多项式与一般稳定性条件的选择无关。

提出的方法

• 引入模栈的 $Θ$-reductive 扩大以实现 $Θ$-stratifications 的构造。
• 使用上同调类 $\ell \in H^2(\mathcal{X}^\prime; \mathbb{Q})$ 和 $b \in H^4(\mathcal{X}^\prime; \mathbb{Q})$ 定义 $Θ$-稳定性条件，从而诱导出分层结构。
• 应用导出代数几何技术，将 Kirwan 的上同调与 Borel-Moore 同调的满射定理范畴化。
• 利用 $Θ$-stratification 理论比较稳定性条件变化下的不变量，特别是 K3 曲面上层模栈的情形。
• 利用导出 $Θ$-stratification 框架，在特定条件下将半稳定部分的上同调与整个栈的上同调联系起来。
• 将虚拟非交换局部化公式应用于计算 Higgs 捆模栈上线丛的上同调群的分次维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将几何不变量理论推广以处理缺乏良好模空间的模问题？
• RQ2 能否在栈上构造一个 $Θ$-stratification，使得每个层具有模解释，并更接近于允许存在良好模空间？
• RQ3 具有 $Θ$-stratification 的栈上凝聚层导出范畴的结构是什么？
• RQ4 K3 曲面上半稳定层模栈的 Borel-Moore 同调的 Poincaré 多项式是否与一般稳定性条件的选择无关？
• RQ5 能否在 K-理论中建立一个虚拟非交换局部化公式，推广经典环面作用下的局部化定理？

主要发现

• K3 曲面上 Gieseker 半稳定层模栈的 Borel-Moore 同调的 Poincaré 多项式与一般稳定性条件的选择无关。
• 在 K-理论中建立了虚拟非交换局部化公式，推广了环面等变局部化定理，适用于非交换群作用。
• 对于某些正线丛 $\mathcal{L}$，有 $H^i(\mathcal{H}iggs_G^{\rm{ss}}, \mathcal{L}) = 0$ 对所有 $i > 0$ 成立，且 $H^0$ 的分次维数由显式公式给出。
• 具有 $Θ$-stratification 的栈的导出范畴具有一个结构定理，该定理范畴化了 Kirwan 的满射定理。
• 该理论使得在稳定性条件变化下，模栈上典型类的指标产生墙穿越公式。
• 该框架通过约化群的球面建筑中的有理多面体，推广了典型几何。