[论文解读] Three-player entangled XOR games are NP-hard to approximate

Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 25被引用 32

一句话总结

该论文证明了在任何常数因子内将三玩家XOR非局域游戏的纠缠值近似到(2−ε)以下的难度为NP难，这在P≠NP的假设下首次建立了纠缠非局域游戏的常数因子近似难度下限。该结果将Hastad的经典困难结果推广至量子非局域性领域，通过为纠缠玩家设计的点对平面低次测试的新可靠性分析实现。

ABSTRACT

We show that for any eps>0 the problem of finding a factor (2-eps) approximation to the entangled value of a three-player XOR game is NP-hard. Equivalently, the problem of approximating the largest possible quantum violation of a tripartite Bell correlation inequality to within any multiplicative constant is NP-hard. These results are the first constant-factor hardness of approximation results for entangled games or quantum violations of Bell inequalities shown under the sole assumption that P eq NP. They can be thought of as an extension of Hastad's optimal hardness of approximation results for MAX-E3-LIN2 (JACM'01) to the entangled-player setting. The key technical component of our work is a soundness analysis of a point-vs-plane low-degree test against entangled players. This extends and simplifies the analysis of the multilinearity test by Ito and Vidick (FOCS'12). Our results demonstrate the possibility for efficient reductions between entangled-player games and our techniques may lead to further hardness of approximation results.

研究动机与目标

• 在假设P≠NP的前提下，建立纠缠多方游戏常数因子近似难度的首个下限。
• 将Hastad针对MAX-E3-LIN2的最优NP难性结果推广至涉及纠缠玩家的量子设置。
• 证明在任何常数因子内近似三体贝尔相关不等式的最大量子违反程度是NP难的。
• 开发并分析一种专为纠缠玩家设计的点对平面低次测试，从而在量子复杂性论中实现新的归约。

提出的方法

• 作者引入一种专为纠缠玩家设计的点对平面低次测试，其可靠性分析在量子设置下成立，将经典线性测试推广至量子环境。
• 他们为该测试提供了新的可靠性分析，利用了量子策略与纠缠特性，扩展了Ito与Vidick的前期工作。
• 该分析依赖于量子算子范数与非局域游戏归约，将测试的可靠性与纠缠XOR游戏近似难度联系起来。
• 该构造通过从经典NP难问题到纠缠游戏的归约实现，利用量子策略模拟保持近似比不变。
• 该框架支持纠缠游戏之间的高效归约，使得困难性结果可在不同类别的非局域游戏中相互转移。
• 该方法不依赖于强猜想，仅在P≠NP的假设下即建立困难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任何常数因子内将三玩家XOR游戏的纠缠值近似到(2−ε)以下是否为NP难？
• RQ2 经典MAX-E3-LIN2的近似困难性是否可推广至具有纠缠玩家的量子设置？
• RQ3 当与纠缠玩家对弈时，点对平面低次测试的可靠性如何？
• RQ4 三体贝尔不等式的量子违反程度是否可在多项式时间内以任意常数因子近似？
• RQ5 哪些技术可实现纠缠游戏之间高效归约，同时保持近似困难性？

主要发现

• 在任意ε>0下，将三玩家XOR游戏的纠缠值近似到(2−ε)因子内的问题是NP难的。
• 在任何常数因子内近似三体贝尔相关不等式的最大量子违反程度的问题是NP难的。
• 该结果在P≠NP的假设下，首次建立了纠缠游戏常数因子近似难度的下限。
• 针对纠缠玩家的点对平面低次测试的可靠性分析在技术上新颖，且较先前方法更简洁。
• 该框架支持纠缠游戏之间的新归约，可能推动量子复杂性理论中更多近似困难性结果的发现。
• 该工作将Hastad的经典困难结果推广至量子非局域性领域，是量子复杂性理论中的重要进展。