[论文解读] Three-Point Compact Approximation for the Caputo Fractional Derivative

Yuri Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对Caputo分数阶导数的三点紧凑有限差分格式，空间与时间方向均达到三阶精度，通过使用Riemann zeta函数修正L1近似，实现$O(h^{3-\beta})$的收敛率。该方法在分数阶亚扩散和松弛方程中提升了稳定性和精度，同时在不同$\alpha$值下保持了简洁的系数结构。

ABSTRACT

In this paper we derive the fourth-order asymptotic expansions of the trapezoidal approximation for the fractional integral and the $L1$ approximation for the Caputo derivative. We use the expansion of the $L1$ approximation to obtain the three point compact approximation for the Caputo derivative \begin{equation*} \dfrac{1}{Γ(2-α)h^α}\sum_{k=0}^{n} δ_k^{(α)} y_{n-k}=\dfrac{13}{12}y^{(α)}_n-\dfrac{1}{6}y^{(α)}_{n-1}+\dfrac{1}{12}y^{(α)}_{n-2}+O\left(h^{3-α} ight), \end{equation*} with weights $δ_0^{(α)}=1-ζ(α-1),\; δ_n^{(α)}=(n-1)^{1 -α}-n^{1-α},$ $$ δ_1^{(α)}=2^{1-α}-2+2ζ(α-1),\; δ_2^{(α)}=1-2^{2-α}+3^{1-α}-ζ(α-1),$$ $$δ_k^{(α)}=(k-1)^{1-α}-2k^{1-a}+(k+1)^{1-α},\quad (k=3\cdots,n-1),$$ where $y$ is a differentiable function which satisfies $y'(0)=0$. The numerical solutions of the fractional relaxation and the time-fractional subdiffusion equations are discussed.

研究动机与目标

• 开发一种针对Caputo分数阶导数的高阶紧凑有限差分格式，以改进标准L1近似所具有的$O(h^{2-\alpha})$精度。
• 推导一种三点紧凑近似，使其在不同$\alpha$值下保持一致的系数结构，同时确保高阶收敛性。
• 将该格式应用于分数阶松弛方程和时间分数阶亚扩散方程，展示其改进的数值性能。
• 建立一种使用L1权重与zeta函数修正构造紧凑近似的框架，以提升精度。

提出的方法

• 推导梯形法则与Caputo导数L1近似的四阶渐近展开式。
• 通过调整前三个权重并引入$\zeta(\alpha-1)$，对L1近似进行修正，得到一个紧凑的三点模板。
• 构建紧凑格式：$\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)h^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n}\delta_k^{(\alpha)}y_{n-k} = \frac{13}{12}y^{(\alpha)}_n - \frac{1}{6}y^{(\alpha)}_{n-1} + \frac{1}{12}y^{(\alpha)}_{n-2} + O(h^{3-\alpha})$。
• 利用Riemann zeta函数与幂律差分推导系数$\delta_k^{(\alpha)}$，确保对所有$\alpha \in (0,1)$保持一致性。
• 将该格式用于数值求解分数阶松弛方程与时间分数阶亚扩散方程。
• 通过已知解析形式的制造解对方法进行验证，包括$u(x,t) = (1+2x^2+3x^3)t^{3-\alpha}$与$u(x,t) = \sin x E_\alpha(-t^\alpha)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于修正的L1权重构造一种针对Caputo导数的三点紧凑有限差分格式，实现$O(h^{3-\alpha})$精度？
• RQ2 在前三个系数中引入$\zeta(\alpha-1)$如何提升L1近似的收敛阶？
• RQ3 与标准L1方法和修正L1方法相比，该紧凑格式在分数阶亚扩散和松弛方程上的性能如何？
• RQ4 该格式是否在不同$\alpha$值下保持统一的系数结构，同时确保高阶精度？

主要发现

• 所提出的紧凑格式实现了$O(h^{3-\alpha})$的收敛率，显著优于标准L1方法的$O(h^{2-\alpha})$精度。
• 分数阶松弛方程的数值结果表明，空间与时间方向的收敛阶分别约为2.0和2.17（当$\alpha = 0.4$时）。
• 对于$\alpha = 0.5$的亚扩散方程，该格式在空间方向的收敛阶接近2.0，时间方向收敛阶约为2.5，表明其具有高精度。
• 该方法在不同$\alpha$值下保持了统一的系数结构，仅需对解施加$y'(0) = 0$的条件。
• 在所有测试案例中，该紧凑格式在空间与时间方向的收敛率均优于标准L1和修正L1方法。
• 该格式是首个针对分数阶亚扩散方程的三点紧凑有限差分方法，采用L1权重与$\zeta(\alpha-1)$修正，实现了$O(h^{3-\alpha})$的精度。