[论文解读] Thresholds for contagious sets in random graphs

Omer Angel, Brett Kolesnik|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文在 Erdős-Rényi 随机图 $ \mathcal{G}_{n,p} $ 中建立了大小为 $ r \geq 2 $ 的最小传染集合存在的精确阈值，表明当 $ p \gtrsim \left( \frac{\alpha_r}{n \log^{r-1} n} \right)^{1/r} $ 时，此类集合以高概率感染整个图，其中 $ \alpha_r = (r-1)! \left( \frac{r-1}{r} \right)^{2(r-1)} $。该结果改进了先前的界限，并与时变分支过程的存活概率相关联。

ABSTRACT

For fixed $r\geq 2$, we consider bootstrap percolation with threshold $r$ on the Erdős-Rényi graph ${\cal G}_{n,p}$. We identify a threshold for $p$ above which there is with high probability a set of size $r$ which can infect the entire graph. This improves a result of Feige, Krivelevich and Reichman, which gives bounds for this threshold, up to multiplicative constants. As an application of our results, we also obtain an upper bound for the threshold for $K_4$-bootstrap percolation on ${\cal G}_{n,p}$, as studied by Balogh, Bollobás and Morris. We conjecture that our bound is asymptotically sharp. These thresholds are closely related to the survival probabilities of certain time-varying branching processes, and we derive asymptotic formulae for these survival probabilities which are of interest in their own right.

研究动机与目标

• 确定在 $ \mathcal{G}_{n,p} $ 中存在大小为 $ r $ 的最小传染集合的精确阈值，该集合可在 $ r $-Bootstrap 渐近下感染整个图。
• 通过识别 $ \mathcal{G}_{n,p} $ 中易感性的精确阈值，改进 Feige、Krivelevich 和 Reichman 的先前界限。
• 将结果应用于 $ K_4 $-Bootstrap 渐近，为临界阈值 $ p_c(n,K_4) $ 提供更紧的上界。
• 推导与渐近动态相关的时变分支过程的存活概率的渐近公式。

提出的方法

• 分析 $ \mathcal{G}_{n,p} $ 上的 $ r $-Bootstrap 渐近，其中当顶点至少有 $ r $ 个已感染邻居时，该顶点即被感染。
• 使用分支过程近似来建模从大小为 $ r $ 的初始集合开始的感染传播，参数经调整以匹配图结构。
• 应用大偏差和极值理论来估计分支过程的存活概率，该概率对应于整个图的感染。
• 推导分支过程存活概率的渐近表达式，表明在临界 $ p $ 处存在尖锐的相变。
• 采用变分法在分支过程参数上进行优化，以建立阈值 $ \alpha_r $。
• 通过界定 $ \alpha < \alpha_r $ 时感染集合的大小，证明了阈值的尖锐性，表明其以高概率为 $ O(\log n) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathcal{G}_{n,p} $ 中，大小为 $ r $ 的最小传染集合存在的精确阈值 $ p_c(n,r) $ 是什么？
• RQ2 当 $ p $ 低于临界阈值时，感染集合的大小如何增长，以及易感子图的最大大小是多少？
• RQ3 能否利用 $ r $-Bootstrap 渐近的结果来改进 $ \mathcal{G}_{n,p} $ 中 $ K_4 $-Bootstrap 渐近的阈值上界？
• RQ4 相关时变分支过程的存活概率的渐近表达式是什么，其与渐近阈值有何关系？
• RQ5 所推导的 $ K_4 $-渐近阈值是否如猜想所示为渐近尖锐的？

主要发现

• 在 $ \mathcal{G}_{n,p} $ 中，$ r $-Bootstrap 渐近的临界阈值为 $ p_c(n,r) = \left( \frac{\alpha_r}{n \log^{r-1} n} \right)^{1/r} (1+o(1)) $，其中 $ \alpha_r = (r-1)! \left( \frac{r-1}{r} \right)^{2(r-1)} $，且该阈值是尖锐的。
• 当 $ \alpha > \alpha_r $ 时，随机图 $ \mathcal{G}_{n,p} $ 在 $ p = \left( \frac{\alpha}{n \log^{r-1} n} \right)^{1/r} $ 下以高概率具有易感性，即大小为 $ r $ 的集合可感染整个图。
• 当 $ \alpha < \alpha_r $ 时，任何大小为 $ r $ 的初始集合所导致的感染集合以高概率至多为 $ O(\log n) $，表明无法实现完全感染。
• 本文改进了 $ \mathcal{G}_{n,p} $ 中 $ K_4 $-Bootstrap 渐近阈值的上界，并猜想该界为渐近尖锐。
• 相关时变分支过程的存活概率在阈值以上为正，在以下为零，且已推导出精确的渐近公式。
• 分析表明，当 $ \alpha < \alpha_r $ 时，易感子图的最大大小为 $ \Theta(\log n) $，且通过参数 $ \beta $ 对最大此类子图进行表征。