[论文解读] Testing correlation of unlabeled random graphs

Yihong Wu, Jiaming Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2020

Graph Theory and Algorithms参考文献 47被引用 10

一句话总结

该论文研究了在潜在节点对应关系下，对两个无标签随机图之间边相关性的检测问题。通过条件二阶矩方法，该研究在密集高斯图和Erdős-Rényi图中建立了相关性检测的精确阈值，并在稀疏Erdős-Rényi图中确定了阈值的常数因子范围，揭示了当 n→∞ 时检验错误概率的相变现象。

ABSTRACT

We study the problem of detecting the edge correlation between two random graphs with $n$ unlabeled nodes. This is formalized as a hypothesis testing problem, where under the null hypothesis, the two graphs are independently generated; under the alternative, the two graphs are edge-correlated under some latent node correspondence, but have the same marginal distributions as the null. For both Gaussian-weighted complete graphs and dense Erdős-Rényi graphs (with edge probability $n^{-o(1)}$), we determine the sharp threshold at which the optimal testing error probability exhibits a phase transition from zero to one as $n o \infty$. For sparse Erdős-Rényi graphs with edge probability $n^{-Ω(1)}$, we determine the threshold within a constant factor. The proof of the impossibility results is an application of the conditional second-moment method, where we bound the truncated second moment of the likelihood ratio by carefully conditioning on the typical behavior of the intersection graph (consisting of edges in both observed graphs) and taking into account the cycle structure of the induced random permutation on the edges. Notably, in the sparse regime, this is accomplished by leveraging the pseudoforest structure of subcritical Erdős-Rényi graphs and a careful enumeration of subpseudoforests that can be assembled from short orbits of the edge permutation.

研究动机与目标

• 形式化并解决在潜在节点对应关系下测试两个无标签随机图之间相关性的难题。
• 确定在节点标签未知且仅能观测到同构类时，检测边相关性的基本极限。
• 分析各种随机图模型（包括高斯加权图和Erdős-Rényi图）中检验错误概率的相变行为。
• 开发一种条件二阶矩方法，以考虑由潜在节点对应关系诱导的边置换的环结构。
• 分别在密集和稀疏图情形下，建立检测的精确或近似精确阈值。

提出的方法

• 将问题形式化为假设检验：H₀（独立图）与 H₁（在潜在节点对应关系下具有边相关性的图）。
• 应用条件二阶矩方法，对似然比的截断二阶矩进行上界估计，条件为交集图的典型结构。
• 利用由潜在节点对应关系诱导的随机置换的环分解，分析边轨道结构。
• 在密集情形下，通过生成函数和在高斯模型与密集Erdős-Rényi模型下对二阶矩的渐近分析，推导出精确阈值。
• 在稀疏情形下，利用次临界Erdős-Rényi图中的伪森林结构，并枚举由边置换的短轨道构成的子伪森林。
• 利用集中不等式（Hanson-Wright 与 Chernoff）以及随机置换的性质（环计数与泊松近似）来控制尾部行为。

(a) Two labeled graphs $G_{1}$ and $G_{2}$ are subsampled from a common parent graph according to the correlated Erdős-Rényi graph model with $n=20$ , $p=0.1$ , and $s=0.8$ under ${\mathcal{H}}_{1}$ , where blue edges are edges sampled from the parent graph, and red, dashed edges are edges deleted f

实验结果

研究问题

• RQ1 当节点标签未知时，检测两个无标签随机图之间边相关性的基本极限是什么？
• RQ2 在密集和稀疏随机图模型中，检验错误概率在 n→∞ 时的行为如何？
• RQ3 潜在节点置换的环结构在边相关性可检测性中起什么作用？
• RQ4 条件二阶矩方法能否被调整以处理无标签图和潜在同构带来的组合复杂性？
• RQ5 密集高斯加权图与密集Erdős-Rényi图中相关性检测的精确阈值是什么？

主要发现

• 对于密集高斯加权图和密集Erdős-Rényi图（边概率为 n^{-o(1)}），该论文在测试错误概率随 n→∞ 从 0 到 1 发生相变的临界点处建立了精确阈值。
• 对于边概率为 n^{-Ω(1)} 的稀疏Erdős-Rényi图，该论文在常数因子范围内确定了检测阈值，表明在此阈值以下相关性检测是不可能的。
• 不可能性结果通过条件二阶矩方法证明，其中似然比的二阶矩通过条件化于典型交集图并分析边置换的环结构来有界。
• 在稀疏情形下，证明依赖于次临界Erdős-Rényi图的伪森林结构，以及对由边置换短轨道构成的子伪森林的细致枚举。
• 分析表明，二阶矩的主要贡献来自边置换中具有短环的配置，这些短环与交集图的骨干结构相关。
• 结果表明，即使在节点身份未知的情况下，图不变量和拓扑结构本身也足以在适当的稀疏性和相关性范围内实现相关性检测。

(b) Two observed graphs $\overline{G}_{1}$ and $\overline{G}_{2}$ are the unlabeled versions of $G_{1}$ and $G_{2}$ , respectively.