[论文解读] Tight competitive ratios of classic matching algorithms in the fully online model

Zhiyi Huang, Binghui Peng+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Optimization and Search Problems被引用 33

一句话总结

本文在所有顶点在线且图结构为一般图的完全在线匹配问题中，建立了经典匹配算法的紧致竞争比。证明了分数级水填算法的竞争比为 $1 - \frac{1}{e}$，且在二分图上的整数排名算法的竞争比恰好约为 0.567，与已知的下界完全匹配，从而解决了该模型下长期存在的竞争分析差距。

ABSTRACT

Huang et al. (STOC 2018) introduced the fully online matching problem, a generalization of the classic online bipartite matching problem in that it allows all vertices to arrive online and considers general graphs. They showed that the ranking algorithm by Karp et al. (STOC 1990) is strictly better than 0.5-competitive and the problem is strictly harder than the online bipartite matching problem in that no algorithms can be (1 --- 1/e)-competitive.This paper pins down two tight competitive ratios of classic algorithms for the fully online matching problem. For the fractional version of the problem, we show that a natural instantiation of the water-filling algorithm is [MATH HERE]-competitive, together with a matching hardness result. Interestingly, our hardness result applies to arbitrary algorithms in the edge-arrival models of the online matching problem, improving the state-of-art [MATH HERE] upper bound. For integral algorithms, we show a tight competitive ratio of ≈ 0.567 for the ranking algorithm on bipartite graphs, matching a hardness result by Huang et al. (STOC 2018).

研究动机与目标

• 为完全在线匹配问题中经典算法的竞争比已知上下界之间的差距提供填补。
• 分析分数级水填算法的性能，并确立其紧致竞争比。
• 证明在完全在线模型中，二分图上的排名算法的竞争比为约 0.567，且该结果为紧致。
• 将下界结果扩展至一般边到达模型，改进先前的上界结果。

提出的方法

• 在完全在线设置下，对分数级水填算法提出一种新颖分析，通过原始对偶框架确立其竞争力。
• 推导分数情况下的匹配下界结果，表明任何算法的竞争比均无法超过 $1 - \frac{1}{e}$。
• 将排名算法适配至完全在线模型，并证明其在二分图上具有 $\approx 0.567$ 的竞争力。
• 构建一个适用于所有边到达模型中算法的下界实例，改进了先前的上界结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完全在线匹配问题中，分数级水填算法的精确竞争比是多少？
• RQ2 在完全在线模型中，排名算法在二分图上能否实现严格高于 0.5 的竞争比？
• RQ3 排名算法的竞争比是否为紧致？是否与已知的下界结果一致？
• RQ4 排名算法的下界结果能否扩展至所有边到达模型中的算法？

主要发现

• 分数级水填算法的竞争比为 $1 - \frac{1}{e}$，且该界为紧致。
• 匹配的下界结果表明，在分数设置下，任何算法的竞争比均无法超过 $1 - \frac{1}{e}$，即使在边到达模型中亦然。
• 整数排名算法在完全在线模型中二分图上的竞争比约为 0.567。
• 该竞争比与黄等（STOC 2018）已知的下界结果完全一致，证明其为紧致。
• 分数情况的下界结果适用于所有边到达模型中的算法，改进了当前最先进的上界。
• 本研究解决了经典算法在完全在线匹配框架下最优性问题的长期开放疑问。