[论文解读] Tiling Spaces, Codimension One Attractors and Shape

Alexander Clark, John Hunton|arXiv (Cornell University)|May 4, 2011

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 36被引用 11

一句话总结

本文建立了动力系统中余维一扩张吸引子与非周期平铺空间之间的深层拓扑联系，表明此类吸引子与去掉有限个点的 (d+1)-环面（或非可定向情形下的双重覆盖）具有形状等价性。文章引入了一种新的同调不变量，可区分具有相同上同调的平铺，证明仅有单维投影平铺可作为余维一吸引子出现，从而排除了如彭罗斯平铺等高内维平铺的可能性。

ABSTRACT

We show that any codimension one hyperbolic attractor of a diffeomorphism of a (d+1)-dimensional closed manifold is shape equivalent to a (d+1)-dimensional torus with a finite number of points removed, or, in the non-orientable case, to a space with a 2 to 1 covering by such a torus-less-points. Furthermore, we show that each orientable attractor is homeomorphic to a tiling space associated to an aperiodic tiling of Rd, but that the converse is generally not true. This work allows the definition of a new invariant for aperiodic tilings, in many cases finer than the cohomological or K-theoretic invariants studied to date.

研究动机与目标

• 确定动力系统中余维一扩张吸引子的拓扑结构。
• 探讨此类吸引子与准晶体及代换规则所生成的非周期平铺空间之间的关系。
• 识别哪些平铺空间可作为闭流形上微分同胚的吸引子被实现的拓扑约束。
• 为非周期平铺开发一种比Čech上同调或K-理论更精细的同调不变量。
• 对哪些平铺空间可被嵌入为余维一吸引子进行分类，尤其关注内维数与上同调障碍的关系。

提出的方法

• 使用形状理论比较吸引子与平铺空间，重点在于形状等价性而非同胚性。
• 应用威廉姆斯理论中的逆极限构造，将吸引子建模为在扩张映射下分支流形的逆极限。
• 利用Mayer-Vietoris正合列计算与去掉有限个点的环面同胚的空间的Čech上同调。
• 通过同调代数方法引入新不变量，该不变量源自典型投影平铺情境下的群上同调序列。
• 使用有理系数上同调中的转移映射分析非可定向情形下的2重覆盖结构。
• 应用[15]中关于群上同调的结果，计算投影平铺空间的H¹(Ω)的秩，表明其至少为n + d。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些平铺空间可作为闭流形上微分同胚的余维一扩张吸引子出现？
• RQ2 余维一扩张吸引子的形状类型是什么？其如何限制吸引子的上同调？
• RQ3 两个具有相同Čech上同调的非周期平铺能否通过更精细的不变量加以区分？若能，如何实现？
• RQ4 为何内维数n > 1的典型投影平铺无法实现为余维一吸引子？
• RQ5 何种拓扑障碍会阻止一个平铺空间被嵌入为余维一吸引子？

主要发现

• 每个可定向的余维一扩张吸引子都与去掉有限个点的 (d+1) 维环面形状等价。
• 每个不可定向的余维一扩张吸引子都与一个存在 (d+1)-环面去掉有限个点的2重覆盖的空间形状等价。
• 可定向吸引子的Čech上同调同构于去掉k个点的 (d+1)-环面，其中 H^p(A) = Z^(d+1 choose p) 对于 0 ≤ p < d，H^d(A) = Z^{d+k}，且当 p > d 时 H^p(A) = 0。
• 在不可定向情形下，H^*(A; Q) 的自由部分包含于覆盖空间的上同调中，且转移映射表明 H^1(A; Q) 的维数至多为 d+1。
• 仅当 H^1(Ω; Q) 的维数为 d+1 时，平铺空间才可能与余维一吸引子形状等价，这将内维数 n 限制为 n = 1。
• 内维数 n > 1 的典型投影平铺无法成为余维一吸引子，因为当 d > 0 时，其 H^1(Ω; Q) 的秩为 n + d > d + 1。