[论文解读] Tilted stable subordinators, Gamma time changes and Occupation Time of rays by Bessel Spiders

Lancelot F. James, Marc Yor|ArXiv.org|Jan 2, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文建立了倾斜稳定子午线过程经独立伽马过程时间变换后与Bessel蜘蛛或其桥接过程射线占用时间之间的概率分布恒等式。通过点蚀理论，证明了在指数钟条件下，Bessel蜘蛛各射线的占用时间联合分布与广义正Linnik过程的分布一致，揭示了时间变换Lévy过程与马氏过程局部时之间的深层联系。

ABSTRACT

We exhibit, in the form of some identities in law, some connections between tilted stable subordinators, time-changed by independent Gamma processes and the occupation times of Bessel spiders, or their bridges. These identities in law are then explained thanks to excursion theory.

研究动机与目标

• 建立时间变换后的倾斜稳定子午线过程与Bessel蜘蛛射线占用时间之间的显式概率分布恒等式。
• 推广已知关于GGC（广义伽马卷积）类型子午线过程的显式边缘分布结果。
• 通过点蚀理论解释这些恒等式，特别关注马氏过程中局部时与逆局部时的作用。
• 在Bessel过程背景下，统一稳定子午线过程、伽马过程以及β或逆伽马分布随机变量的相关结果。

提出的方法

• 构建广义正Linnik过程作为时间变换的稳定子午线过程，其中时间变换为独立的伽马过程。
• 使用Esscher变换定义与参数$\nu_i$相关的子午线过程，得到$\mathbb{E}[\exp(-\lambda T^{(\nu_i)}_\alpha(u))] = \exp(-u[(\nu_i + \lambda)^\alpha - \nu_i^\alpha])$。
• 应用点蚀理论，将Bessel蜘蛛中射线的占用时间与马氏过程在随机指数时间的逆局部时间联系起来。
• 推导关键概率分布恒等式：$\{\nu_i \mathscr{C}^{(\nu_i)}_\alpha(\mathbf{e}); \mathbf{e}\} \overset{d}{=} \{A^{(i)}_{g_{\mathbf{e}}}; L_{\mathbf{e}}\}$，其中$g_{\mathbf{e}}$为从零点的最后退出时间。
• 利用Bessel过程的标度性质及伊藤点蚀测度的结构，分解预局部时间与后局部时间过程的分布。
• 应用一个引理，将占用时间的拉普拉斯泛函与子午线过程的指数倾斜联系起来，表明$\mathbb{E}[\exp(-\sum_j \lambda_j A^{(j)}_{g_{\mathbf{e}}})] = \mathbb{E}[\exp(-\sum_j (\lambda_j + 1) A^{(j)}_{\tau_\ell})] \cdot \exp(\ell)$

实验结果

研究问题

• RQ1 经伽马过程时间变换的倾斜稳定子午线过程与Bessel蜘蛛射线占用时间之间有何关系？
• RQ2 Bessel蜘蛛多个射线的占用时间联合分布能否通过时间变换Lévy过程表达？
• RQ3 点蚀理论在将Bessel过程的局部时与指数钟下占用时间分布联系起来的过程中起什么作用？
• RQ4 伊藤点蚀测度的结构与局部时子午线过程的Bernstein函数如何与占用时间分布相关联？
• RQ5 时间变换子午线过程与Bessel蜘蛛占用时间之间的概率分布恒等式能否从一般点蚀理论框架中推导得出？

主要发现

• 概率分布恒等式$\{\nu_i \mathscr{C}^{(\nu_i)}_\alpha(\mathbf{e}); \mathbf{e}\} \overset{d}{=} \{A^{(i)}_{g_{\mathbf{e}}}; L_{\mathbf{e}}\}$成立，其中$\mathbf{e}$为指数随机变量，$g_{\mathbf{e}}$为从零点的最后退出时间，$A^{(i)}_t$为各射线上的加法泛函。
• $\varepsilon_1(t)$的边缘分布为$\gamma_{t/2}/\beta_{(1/2, (1+t)/2)}$，而$\varepsilon_2(t)$的边缘分布为$\gamma_{t/2} \beta_{((1+t)/2, (1+t)/2)}$，确认了特定倾斜稳定子午线过程的显式分布。
• 蜘蛛上占用时间过程的拉普拉斯泛函被证明等于$\mathbb{E}[\exp(-\sum_j (\lambda_j + 1) A^{(j)}_{\tau_\ell})] \cdot \exp(\ell)$，从而将其与倾斜子午线过程分布联系起来。
• 在给定$L_{\mathbf{e}} = \ell$的条件下，$g_{\mathbf{e}}$前后的过程条件独立，且$g_{\mathbf{e}}$前的路径在时间变换测度下服从$\tau_\ell$停止过程的分布。
• 后$g_{\mathbf{e}}$过程的分布为$\frac{1}{\psi(1)}(1 - \exp(-V(\varepsilon))) \mathbf{n}(d\varepsilon)$，其中$\mathbf{n}$为点蚀测度，$V(\varepsilon)$为点蚀持续时间。
• 该结果推广了已知的 arcsine 定律与稳定子午线过程之间的恒等式，表明Bessel蜘蛛射线上的占用时间对应于参数为$(\mu, \nu)$的广义正Linnik过程。