[论文解读] Time analyticity for the heat equation and Navier-Stokes equations

Hongjie Dong, Qi S. Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文在二阶指数增长条件下，建立了黎曼流形上热方程解的逐点时间解析性，以及全空间中纳维-斯托克斯方程有界温和解的时间解析性。关键结果是不适定反向热方程的精确可解性准则，以及首次使用实变量方法在所有维度上获得纳维-斯托克斯解的普遍逐点时间解析性结果。

ABSTRACT

We prove the analyticity in time for solutions of two parabolic equations in the whole space, without any decaying or vanishing conditions. One of them involves solutions to the heat equation of exponential growth of order $2$ on $\M$. Here $\M$ is $\R^d$ or a complete noncompact manifold with Ricci curvature bounded from below by a constant. An implication is a sharp solvability condition for the Cauchy problem of the backward heat equation, which is a well known ill-posed problem. Another implication is a sharp criteria for time analyticity of solutions down to the initial time. The other pertains bounded mild solutions of the incompressible Navier-Stokes equations in the whole space. There are many long established analyticity results for the Navier-Stokes equations. See for example \cite{Ka:1} and \cite{FT:1} for spatial and time analyticity in certain integral sense, \cite{CN:1} for pointwise space-time analyticity of 3 dimensional solutions to the Cauchy problem, and also the pointwise time analyticity results of \cite{Ma:1} and \cite{Gi:1} under zero boundary condition. Our result seems to be the first general pointwise time analyticity result for the Cauchy problem for all dimensions, whose proof involves only real variable method. The proof involves a method of algebraically manipulating the integral kernel, which appears applicable to other evolution equations.

研究动机与目标

• 建立在完整非紧致流形上、里奇曲率有下界的热方程解的时间解析性。
• 为在指数增长阶为2的解类中不适定反向热方程提供精确可解条件。
• 证明全空间中不可压缩纳维-斯托克斯方程有界温和解的逐点时间解析性。
• 发展一种适用于一般抛物方程的实变量方法，避免复化或积分范数。
• 将先前关于解析性的结果推广至整个时间区间，包括初始时刻，且无需边界或衰减条件。

提出的方法

• 使用实变量方法代数地操作热传播子的积分核，避免复化技术。
• 应用格朗沃尔不等式控制缩放解的高阶时间导数。
• 采用数学归纳法与莱布尼茨法则估计 $ t^n u(t,x) $ 的时间导数，利用热核及其导数的衰减估计。
• 推导 $ \partial_t^n(t^n u) $ 的 $ L_∞ $-范数界，表明其增长受控于 $ N^n n^n $，从而表明泰勒级数收敛。
• 利用结构 $ \Delta a_j = a_{j+1} $ 将空间正则性与时间解析性联系起来。
• 将该方法应用于流形上的热方程与纳维-斯托克斯方程，后者依赖于温和解的表述形式与卷积结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无无穷远处衰减或消失条件的情况下，能否在里奇曲率有下界的流形上建立热方程解的时间解析性？
• RQ2 在指数增长阶为2的解类中，反向热方程是否存在精确可解性准则？
• RQ3 全空间中 $ \mathbb{R}^d $ 内不可压缩纳维-斯托克斯方程有界温和解的时间解析性是否对所有维度成立，且能否通过实变量方法证明？
• RQ4 代数操作积分核的方法能否推广至热方程与纳维-斯托克斯方程之外的一般抛物方程？
• RQ5 时间解析性成立的最优增长条件是什么？指数增长阶为2是否为最优？

主要发现

• 在满足 $ \mathrm{Ric} \geq -(d-1)K_0 $ 且具有阶为2的指数增长的流形上，热方程解在 $ [-1,0] $ 上时间解析，其解析半径仅依赖于 $ d $、$ K_0 $ 与增长常数 $ A_2 $。
• 解在时间上具有收敛的泰勒级数：$ u(t,x) = \sum_{j=0}^\infty a_j(x) \frac{t^j}{j!} $，其中 $ \Delta a_j = a_{j+1} $。
• 系数满足估计 $ |a_j(x)| \leq A_1 A_3^{j+1} j^j e^{2A_2 d^2(x,0)} $，表明其在 $ j $ 上受控增长。
• 对于全空间 $ \mathbb{R}^d $ 中的有界温和纳维-斯托克斯解，解在时间上解析，意味着唯一延拓成立，并可能应用于奇点分析。
• 该方法给出了反向热方程的精确可解条件：解存在当且仅当其在时间上解析且满足该增长条件。
• 证明技术基于对 $ t^n u(t,x) $ 的时间导数的实变量估计，得到 $ \| \partial_t^n(t^n u) \|_{L_\infty} \leq N^n n^n $，从而确认泰勒级数的收敛性。