[论文解读] Time consistency and moving horizons for risk measures

Samuel N. Cohen, Robert J. Elliott|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2009

Risk and Portfolio Optimization参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文引入了一种新的时间一致性形式——'可靠性'——用于在移动时域下的动态风险度量中，其中风险在随时间前移的固定未来窗口（例如一年）内进行评估。研究表明，当策略选择在截断下封闭（即投资者可随时退出）时，使用移动时域推导出的最优策略与基于等价递归一致值函数的最优策略等价，从而确保在时域移动的情况下决策的可靠性。

ABSTRACT

We consider portfolio selection when decisions based on a dynamic risk measure are affected by the use of a moving horizon, and the possible inconsistencies that this creates. By giving a formal treatment of time consistency which is independent of Bellman's equations, we show that there is a new sense in which these decisions can be seen as consistent.

研究动机与目标

• 解决在使用移动时域方法时，动态风险管理中的时间不一致性问题，其中风险在随时间前移的固定未来窗口内进行评估。
• 形式化一种新的一致性属性——'可靠性'——以确保即使在评估时域移动时，最优决策仍保持可靠。
• 证明在策略空间对截断封闭的条件下，移动时域决策与递归一致值函数下的决策一致。
• 为在实践中使用移动时域提供理论依据，特别是在长期建模不可行的情况下。
• 阐明移动时域风险度量仍能产生可靠、时间一致决策的条件。

提出的方法

• 提出一种独立于贝尔曼原理的新时间一致性定义——'可靠性'，聚焦于时域移动下决策的可靠性。
• 使用修改后的值函数 $\tilde{\mathcal{V}}_t(X)$，该函数将策略限制在时域截断范围内，以确保在时间 $t$ 与原始风险度量的一致性。
• 应用策略在截断下的封闭性概念：若策略 $X$ 被允许，则对任意停时 $\tau$，$I_{[0,\tau[}X$ 也被允许，从而确保未来决策不会破坏当前选择。
• 建立在策略空间对截断封闭的条件下，原始值函数 $\mathcal{V}_t$ 与截断后的可靠版本 $\tilde{\mathcal{V}}_t$ 下的最优策略之间的等价性。
• 以倒向随机微分方程（BSDEs）和非线性期望为基础，构建递归风险度量，假设 $\rho$ 是 $\mathcal{F}_t$-一致的非线性期望。
• 证明若值函数在时域内具有递归性，且策略空间对截断封闭，则移动时域下的最优策略具有可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在移动时域下，尽管标准递归性不成立，能否在动态风险度量中保持时间一致性？
• RQ2 在何种条件下，移动时域下的决策仍能保持可靠，并与未来行为保持一致？
• RQ3 引入对截断封闭的策略空间如何影响移动时域风险评估中最优决策的一致性？
• RQ4 修改后的值函数 $\tilde{\mathcal{V}}_t$ 以何种方式确保移动时域下决策的可靠性？
• RQ5 在何种条件下，从移动时域推导出的最优策略与从递归一致风险度量中得出的最优策略等价？

主要发现

• 在原始值函数 $\mathcal{V}_0$ 下推导出的最优策略 $X^0$ 满足 $\mathcal{V}_0(X^0) = 0.1889$，但该策略不具备时间一致性，因为 $\mathcal{V}_0(X^0) < \mathcal{V}_0(\hat{X}) = -2.4926$。
• 当策略空间被限制在截断封闭策略 $\tilde{\mathcal{U}}_t^{\hat{X}}$ 时，修改后的值函数 $\tilde{\mathcal{V}}_0$ 满足 $\tilde{\mathcal{V}}_0(X^0) = 0.1889 < \tilde{\mathcal{V}}_0(\hat{X}) = 0.4741$，表明 $\hat{X}$ 在可靠框架下现为最优。
• 值函数 $\tilde{\mathcal{V}}_t$ 在截断策略空间上与 $\mathcal{V}_t$ 一致，确保了原始评估与可靠评估之间的一致性。
• 若策略 $X$ 可接受（即 $\tilde{\mathcal{V}}_0(X) \geq 0$），且策略空间对截断封闭，则最优实现策略 $\hat{X}$ 满足 $\tilde{\mathcal{V}}_0(\hat{X}) \geq \tilde{\mathcal{V}}_0(X^0) \geq \tilde{\mathcal{V}}_0(X) \geq 0$，从而保证了可靠性。
• 该结果基于底层风险度量为递归 $\mathcal{F}_t$-一致非线性期望的假设；对于非递归度量（如一致的预期损失）不适用。
• 本文结论认为，当投资者可随时退出时，移动时域方法在风险管理中是合理的，因为这能确保最优决策的可靠性。