[论文解读] Dynamic risk measuring under model uncertainty: taking advantage of the hidden probability measure

Jocelyne Bion–Nadal, Magali Kervarec|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Risk and Portfolio Optimization参考文献 19被引用 14

一句话总结

本文通过利用弱相对紧集内隐藏的概要等价类概率测度，提出了一种在模型不确定性下动态风险度量的一般性框架。它建立了对偶表示，证明了时间一致性和正则性，并将理论应用于次线性风险度量和G-期望，表明条件G-期望可扩展至L¹(c)上的时间一致风险度量。

ABSTRACT

We study dynamic risk measures in a very general framework enabling to model uncertainty and processes with jumps. We previously showed the existence of a canonical equivalence class of probability measures hidden behind a given set of probability measures possibly non dominated. Taking advantage of this result, we exhibit a dual representation that completely characterizes the dynamic risk measure. We prove continuity and characterize time consistency. Then, we prove regularity for all processes associated to time consistent convex dynamic risk measures. We also study factorization through time for sublinear risk measures. Finally we consider examples (uncertain volatility and G-expectations).

研究动机与目标

• 解决在不存在单一主导概率测度的模型不确定性下，动态风险度量的问题。
• 识别并利用非主导测度弱相对紧集内隐藏的概要等价类概率测度。
• 建立确保时间一致性和正则性的动态风险度量对偶表示。
• 将理论扩展至次线性风险度量和条件G-期望，证明其时间一致性与可积性。

提出的方法

• 利用先前工作中建立的、源自非主导测度弱相对紧集的概要等价类概率测度。
• 应用形式为 $\rho(X) = \sup_{P \in \mathcal{P}} (E_P(-X) - \alpha(P))$ 的对偶表示来表征动态风险度量。
• 通过协循环条件 $\rho_{r,t} = \rho_{r,s} \circ (-\rho_{s,t})$（其中 $r \leq s \leq t$）证明时间一致性。
• 利用隐藏概率类的结构，证明时间一致凸动态风险度量相关过程的正则性。
• 通过时间分解应用于次线性风险度量，确保时间跨度上的一致性。
• 通过PDE解定义的条件G-期望，并利用c-范数下的连续性与可测性论证，将其扩展至 $L^1(c)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不存在主导概率测度时，如何一致地定义动态风险度量？
• RQ2 隐藏的概要等价类概率测度在实现风险度量对偶表示中起什么作用？
• RQ3 在非主导、模型不确定的设定下，时间一致性如何表征并证明？
• RQ4 条件G-期望能否扩展为 $L^1(c)$ 上的时间一致动态风险度量？其底层对偶表示是什么？
• RQ5 哪些条件可确保时间一致动态风险度量相关过程的正则性与可积性？

主要发现

• 通过 $\rho(X) = \sup_{P \in \mathcal{P}} (E_P(-X) - \alpha(P))$ 建立了动态风险度量的对偶表示，其中 $\mathcal{P}$ 为非主导概率测度的弱相对紧集。
• 通过协循环条件 $\rho_{r,t} = \rho_{r,s} \circ (-\rho_{s,t})$ 证明了时间一致性，且概要等价类的存在确保了该性质成立。
• 动态风险度量 $\rho_s(X) = \hat{E}(-X|\mathcal{F}_s)$ 唯一地扩展至 $L^1(c)$，取值于 $L^1_s(c)$，并保持次线性性与时间一致性。
• 条件G-期望具有对偶表示：$\hat{E}(X|\mathcal{F}_s) = \mathrm{esssup}_{n \in \mathbb{N}} E_{Q_n}(X|\mathcal{F}_s)$ $P$-几乎处处成立，其中 $\{Q_n\}$ 为可数个概率测度。
• 对每个 $X \in L^1(c)$，存在一概率测度 $Q_X$，使得 $\hat{E}(X|\mathcal{F}_s) = E_{Q_X}(X|\mathcal{F}_s)$ $P$-几乎处处成立，从而确保强凸性。
• 容量 $c(X) = \hat{E}(|X|)$ 在 $L^1(c)$ 上定义了一个范数，且 $\hat{E}(\cdot|\mathcal{F}_s)$ 的扩展在该空间上连续且定义良好。