[论文解读] Time Consistent Bid-Ask Dynamic Pricing Mechanisms for Contingent Claims and Its Numerical Simulations Under Uncertainty

Wei Chen|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种基于Peng的G框架下，针对波动率和漂移不确定性下的欧洲衍生品的时一致性动态买卖价差定价机制。该机制将定价问题形式化为从G-热方程推导出的完全非线性PDE的粘性解，并采用单调隐式有限差分格式进行数值模拟，展示了数字期权和蝶式期权的买卖价差轨迹在收敛性和稳定性方面的表现。

ABSTRACT

We study time consistent dynamic pricing mechanisms of European contingent claims under uncertainty by using G framework introduced by Peng ([24]). We consider a financial market consisting of a riskless asset and a risky stock with price process modelled by a geometric generalized G-Brownian motion, which features the drift uncertainty and volatility uncertainty of the stock price process. Using the techniques on G-framework we show that the risk premium of the asset is uncertain and distributed with maximum distribution. A time consistent G-expectation is defined by the viscosity solution of the G-heat equation. Using the time consistent G-expectation we define the G dynamic pricing mechanism for the claim. We prove that G dynamic pricing mechanism is the bid-ask Markovian dynamic pricing mechanism. The full nonlinear PDE is derived to describe the bid (resp. ask) price process of the claim. Monotone implicit characteristic finite difference schemes for the nonlinear PDE are given, nonlinear iterative schemes are constructed, and the simulations of the bid (resp. ask) prices of contingent claims under uncertainty are implemented.

研究动机与目标

• 开发一种在漂移和波动率不确定性下，针对欧洲衍生品的时一致性动态定价机制。
• 利用广义几何G-几何布朗运动建模资产价格动态，以捕捉漂移和波动率的不确定性。
• 基于G-热方程的粘性解，定义一种基于时一致性G-期望的买卖价差动态定价机制。
• 推导并数值求解控制衍生品买卖价差过程的完整非线性PDE。
• 实现单调隐式有限差分格式进行数值模拟，并验证买卖价差曲面的收敛性和稳定性。

提出的方法

• 使用广义几何G-布朗运动对风险资产价格进行建模，以在有界区间内表示漂移和波动率的不确定性。
• 通过G-热方程的粘性解定义时一致性G-期望，确保定价的动态一致性。
• 通过求解源自G-期望框架的非线性PDE，构建买卖价差动态定价机制。
• 为非线性PDE开发单调隐式特征有限差分格式，以保证稳定性和收敛性。
• 在每个时间步长上实现非线性迭代格式求解离散非线性系统，利用M-矩阵性质证明收敛性。
• 使用指定的网格参数和容差阈值，对数字期权和蝶式期权的买卖价差曲面进行模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在漂移和波动率不确定性下，为衍生品构建时一致性动态买卖价差定价机制？
• RQ2 G-期望在模型不确定性下确保定价动态一致性的作用是什么？
• RQ3 买卖价差过程如何与衍生品的收益结构相关联？
• RQ4 单调有限差分格式能否收敛至控制买卖价差的非线性PDE的粘性解？
• RQ5 有哪些数值证据支持模拟的买卖价差曲面的稳定性和正确性？

主要发现

• 在G框架下，风险资产的风险溢价被证明为最大分布，反映了不确定性下的最坏情况。
• 买卖价差动态定价机制被证明具有马尔可夫性且时一致性，确保了时间上的协调性。
• 买卖价差过程满足由G-热方程导出的完全非线性PDE，且卖价高于买价，符合预期。
• 单调有限差分格式收敛至粘性解，迭代过程形成一个单调递增且有界的序列，收敛至唯一解。
• 数字期权和蝶式期权的数值模拟结果表明，卖价（买价）曲面保持了收益函数的单调性与凸性（凹性）。
• 对于行权价K=100、到期日T=0.5、无风险利率r=0.10、波动率σ∈[0.15,0.25]、时间步长Δt=0.0025的数字期权，买卖价差在模拟曲面上清晰可见且保持稳定。