[论文解读] Time Evolution and Thermodynamics for the Nonequilibrium System in Phase-Space

Chen-Huan Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文研究了相空间中非平衡量子系统的时变演化与热力学性质，聚焦于利用广义吉布斯系综（GGE）和熵系综中的矩阵方法对可积与不可积系统进行分析。结果表明，可观测量的长时间平均收敛至对角系综预测值，可积系统中热化被抑制，而在随机、噪声动力学中则表现出渐近非热化，其特征为无限温准稳态。

ABSTRACT

The integrable system is constrained strictly by the conservation law during the time evolution, and the nearly integrable system or nonintegrable system is also constrained by the conserved parameters (like the constants of motion) with corresponding generalized Gibbs ensemble (GGE) which is indubitability a powerful tool in the prediction of thr relaxation dynamics. For stochastic evolution dynamic with considerable noise, the obviously quantum or thermal correlations which don't exhibit the thermal behavior, (like the density of kinks or transverse magnetization correlators), display a asymptotic nonthermalization, and in fact it's a asymptotic quasisteady state with a infinte temperature, therefore the required distance to the nonthermal steady state is in a infinite time average. In this paper, we unambiguously investigate the relaxation of a nonequilibrium system in a canonical ensemble for integrable system or nonintegrable system, and the temporal behavior of many-body quantum system and the macroscopic system, as well as the corresponding linear-coupling between harmonic oscillators. Matrix-method in entropy ensemble is also utilized to discuss the boundary and the important diagonalization, the approximation by the perturbation theory is also obtained.

研究动机与目标

• 理解可积与不可积区域中非平衡多体量子系统的弛豫动力学。
• 研究守恒量与广义吉布斯系综（GGE）在决定长时间行为中的作用。
• 分析系统在何种条件下无法实现热化，特别是当存在噪声或可积性破缺时。
• 在熵系综中构建矩阵方法框架，用于研究时间演化中的对角化与微扰近似。
• 澄清在随机动力学中热化与渐近非热化之间的区别，特别是在具有无限温准稳态的系统中。

提出的方法

• 使用广义吉布斯系综（GGE）来描述可积系统中由守恒量约束的类平衡行为。
• 应用微扰理论至 $ O(g^3) $ 阶，以计算时间演化可观测量，分离对角与非对角贡献。
• 通过 $ e^{iHt} = e^{-s}e^{iH_dt}e^{s} $ 的幺正变换对时间演化算符进行对角化，并分离出依赖于 $ s $ 的项。
• 推导可观测量的长时间平均为 $ \textstyle\langle A(t)\rangle = \sum_\alpha |\langle\alpha|\psi(0)\rangle|^2 \langle\alpha|A|\alpha\rangle $，对应于对角系综。
• 采用矩阵乘积算符形式来模拟一维系统中的时间演化，尤其在可积与无序情况下效率较高。
• 引入微扰平均矩阵元 $ \tilde{A}_{\alpha_1\cdots\alpha_n} $，以处理在守恒算符 $ P_{\alpha_i} $ 存在下的对角化与GGE期望。

实验结果

研究问题

• RQ1 非平衡量子系统中可观测量的长时间平均如何依赖于初始态与守恒量？
• RQ2 在何种条件下系统无法实现热化，其渐近非热稳态具有何种特征？
• RQ3 广义吉布斯系综（GGE）与微正则系综在预测可积与不可积系统长时间行为方面有何异同？
• RQ4 密度矩阵中的非对角项在弛豫动力学中起何作用，其随时间如何衰减？
• RQ5 噪声或随机力的存在如何导致在无热化情况下的无限温准稳态？

主要发现

• 可观测量的长时间平均收敛至对角系综，表达式为 $ \langle A(t)\rangle = \sum_\alpha |\langle\alpha|\psi(0)\rangle|^2 \langle\alpha|A|\alpha\rangle $，其仅取决于初始态与能量本征态的重叠。
• 在可积系统中，系统受守恒量约束，无法热化至标准吉布斯态，而应由GGE描述。
• 对于具有足够可积性破缺的不可积系统，系统实现热化，长时间平均与微正则系综中的热期望值一致。
• 在具有显著噪声的随机动力学中，系统达到渐近非热稳态，其温度为无限大，且仅在无限时间平均下才能达到与该状态的距离。
• 时间演化中非对角项的贡献被抑制至 $ O(g^3) $ 阶，其振荡衰减由能级差 $ E_a - E_b $ 决定，导致不可积情况下持续振荡。
• 矩阵乘积算符方法在可积与无序系统中高效模拟时间演化，但在不可积模型中效率低下，因纠缠增长所致。