[论文解读] Time evolution of 1D gapless models from a domain-wall initial state: SLE continued?

Pasquale Calabrese, Christian Hagendorf+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2008

Quantum many-body systems参考文献 77被引用 7

一句话总结

本文利用边界共形场论和虚时路径积分，研究了一维无隙量子系统从域壁初态出发的时间演化。推导了关联函数和纠缠熵的普遍标度行为，揭示了由于域壁导致的纠缠熵中普遍存在的常数偏移，并探讨了与通用 $κ$ 的随机Loewner演化（SLE）之间的潜在联系。

ABSTRACT

We study the time evolution of quantum one-dimensional gapless systems evolving from initial states with a domain-wall. We generalize the path-integral imaginary time approach that together with boundary conformal field theory allows to derive the time and space dependence of general correlation functions. The latter are explicitly obtained for the Ising universality class, and the typical behavior of one- and two-point functions is derived for the general case. Possible connections with the stochastic Loewner evolution are discussed and explicit results for one-point time dependent averages are obtained for generic κfor boundary conditions corresponding to SLE. We use this set of results to predict the time evolution of the entanglement entropy and obtain the universal constant shift due to the presence of a domain wall in the initial state.

研究动机与目标

• 理解从域壁初态制备的一维无隙量子系统在非平衡态下的动力学行为。
• 将虚时路径积分方法与边界共形场论（CFT）推广至非平移不变初态。
• 推导此类系统中关联函数和纠缠熵的普遍标度行为。
• 探讨此类系统时间演化与随机Loewner演化（SLE）之间的潜在联系，特别是针对通用 $κ$ 的情况。
• 预测由域壁初态引起的纠缠熵的普遍常数偏移。

提出的方法

• 利用虚时路径积分公式，将实时间量子演化映射为1+1维板状几何中的经典统计力学问题。
• 应用边界共形场论（CFT）分析临界点处的系统行为，将初始域壁态视为边界条件。
• 通过从上半平面到条带几何的解析延拓，提取时间相关的关联函数。
• 利用已知的CFT结果，推导出伊辛普遍性类中的一点和两点函数的精确表达式。
• 通过标度论证和体四点函数数据，将结果推广至一般的一维无隙系统。
• 分析任意 $κ$ 下SLE边界条件下的一点函数行为，将其与随机几何模型联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一维无隙系统从域壁初态制备时，关联函数如何随时间演化？
• RQ2 此类系统中的一点和两点函数的普遍标度行为是什么？其与因果性的关系如何？
• RQ3 能否从CFT框架预测纠缠熵的时间演化？域壁在此过程中起什么作用？
• RQ4 此类量子系统的时间演化与随机Loewner演化（SLE）之间存在何种联系？
• RQ5 这些结果如何推广至伊辛模型以外的其他无隙一维系统？

主要发现

• 当两点处于因果关联时，局域算符的两点函数随时间呈指数衰减，衰减速率由标度维数和有效逆温度 $β_{\rm eff} = 4\tau_0$ 决定。
• 对于伊辛模型，关联函数 $σ(1)ε(2)$ 展现出因果视界效应，相关性仅在 $2t > |r_1 - r_2|$ 之后开始形成。
• 推导出任意 $κ$ 下SLE边界条件下的一点函数的时间演化，明确显示出对SLE参数的依赖性。
• 纠缠熵因域壁初态而出现普遍常数偏移，该结果由CFT分析预测。
• 关联函数的渐近行为与有效逆温度 $β_{\rm eff} = 4\tau_0$ 的热态一致，尽管系统始终保持纯态。
• 对于一般算符，两点函数的衰减由不等式 $x_1 + x_2 - 2x_b > 0$ 控制，确保在长时间下指数衰减至零。