[论文解读] Time functions on Lorentzian length spaces

Annegret Burtscher, Leonardo García-Heveling|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2021

Advanced Differential Geometry Research参考文献 68被引用 11

一句话总结

本文在无需光滑流形或洛伦兹度量的条件下，通过将全局双曲性表征为柯西时间函数、一般时间函数的 $K$-因果性，以及通过修正的 Geroch 体积函数表征的因果连续性，建立了洛伦兹（预-）长度空间中时间函数的基础存在性结果——即时间函数的存在且行为良好，恰好当因果结构满足最小正则性条件时成立，且与可微性或度量结构无关。

ABSTRACT

In general relativity, time functions are crucial objects whose existence and properties are intimately tied to the causal structure of a spacetime and also to the initial value formulation of the Einstein equations. In this work we establish all fundamental classical existence results on time functions in the setting of Lorentzian (pre-)length spaces (including causally plain continuous spacetimes, closed cone fields and even more singular spaces). More precisely, we characterize the existence of time functions by $K$-causality, show that a modified notion of Geroch's volume functions are time functions if and only if the space is causally continuous, and lastly, characterize global hyperbolicity by the existence of Cauchy time functions, and Cauchy sets. Our results thus inevitably show that no manifold structure is needed in order to obtain suitable time functions.

研究动机与目标

• 将经典时间函数存在性定理由光滑时空推广至更一般的洛伦兹（预-）长度空间设定。
• 确定哪些因果条件——如 $K$-因果性、因果连续性及全局双曲性——可保证时间函数的存在。
• 证明柯西时间函数的存在性恰好表征了该抽象框架下的全局双曲性。
• 证明当且仅当空间因果连续时，修正的 Geroch 体积函数才是时间函数。
• 证明时间函数的良好存在性无需流形或度量结构，仅依赖于因果与拓扑结构。

提出的方法

• 通过因果阶梯表征时间函数，使用 $K$-因果性作为存在性的必要且充分条件。
• 引入 Geroch 体积函数的修正版本，使用具有满支撑的博雷尔概率测度，并对历时间隔内的平均体积进行定义。
• 应用极限曲线定理与恰当度量空间的性质，以确保因果曲线的收敛性与紧致性。
• 利用提升性质（push-up property）及全局双曲空间中 $J^\pm(p)$ 的闭性，当假设体积函数的极限非零时导出矛盾。
• 运用勒贝格控制收敛定理分析体积函数沿无延长因果曲线的行为。
• 利用 Nachbin 有序空间理论及先前关于洛伦兹长度空间的研究成果，推广经典因果理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无光滑流形结构的洛伦兹预-长度空间中，何种因果条件下存在时间函数？
• RQ2 在无洛伦兹度量的情况下，修正的 Geroch 体积函数何时自身为时间函数？
• RQ3 因果连续性与基于体积的时间函数的正则性之间有何关系？
• RQ4 能否通过柯西时间函数的存在性来表征抽象因果空间中的全局双曲性？
• RQ5 因果理论在多大程度上可独立于可微性或度量张量正则性来发展？

主要发现

• 在洛伦兹预-长度空间中，时间函数存在的充要条件是空间满足 $K$-因果性，建立了因果性与时间函数存在性之间的基本联系。
• 修正的 Geroch 体积函数是时间函数当且仅当空间因果连续，将经典结果推广至奇异及非光滑情形。
• 全局双曲性由柯西时间函数的存在性表征：其水平集与每条双无延长因果曲线恰好相交一次。
• 在全局双曲的洛伦兹预-长度空间中，平均体积函数 $t^\pm$ 沿任意双无延长因果曲线 $\gamma$ 满足 $\lim_{s\to b}t^+(\gamma(s)) = \lim_{s\to a}t^-(\gamma(s)) = 0$，确认其时间函数行为。
• 体积函数极限行为的证明依赖于紧致性 $J(q,\gamma(b))$ 与提升性质的反证法，表明非零极限意味着因果囚禁。
• 结果不依赖于光滑流形或洛伦兹度量的假设，仅依赖于因果结构、拓扑结构以及具有满支撑测度的恰当度量。