[论文解读] Time in classical and quantum mechanics

Jesús Muñoz-Díaz, R.J. Alonso-Blanco|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文從經典力學出發，透過時間約束或自由系統的赫茲投影，提出兩種幾何推導時變薛丁頓方程的方法。結果顯示，量子力學中的時間參數源自哈密頓-雅可比方程中牛頓時間與波動時間的線性組合，且僅在定態中，頻率-能量關係 $E = h\nu$ 才具有經典解釋，而非在疊加態中。

ABSTRACT

In this article we study the nature of time in Mechanics. The fundamental principle, according to which a mechanical system evolves governed by a second order differential equation, implies the existence of an absolute time-duration in the sense of Newton. There is a second notion of time for conservative systems which makes the Hamiltonian action evolve at a constant rate. In Quantum Mechanics the absolute time loses its sense as it does the notion of trajectory. Then, we propose two different ways to reach the time dependent Schrödinger equation. One way consists of considering a "time constraint" on a free system. The other way is based on the point of view of Hertz, by considering the system as a projection of a free system. In the later manner, the "time" appearing in the Schrödinger equation is a linear combination of the time-duration with the "time" quotient of the action by the energy on each solution of the Hamilton-Jacobi equation. Both of them are based on a rule of quantization that we explain in Section 4.

研究动机与目标

• 釐清經典力學與量子力學中時間的本質，特別是其在標準量子理論中作為外在參數的角色。
• 解決薛丁頓方程中時間參數的解釋模糊性，及其與經典時間與作用量的關係。
• 建立一個幾何化量子化規則，一致地將經典二階動力學映射至量子演化。
• 探討 $E = h\nu$ 中的頻率是否可作經典解釋，特別是在具有週期軌道的系統中。
• 表明薛丁頓方程中的時間並非絕對時長，而是與作用量及能階相關的衍生量。

提出的方法

• 對自由力學系統施加時間約束，將其狀態空間限制於某個選定函數均勻演變的軌跡上，從而定義經典時間參數。
• 應用一般性量子化規則於共變張量場，將經典物理量如能量與動量映射為量子算符。
• 使用赫茲投影，將保守系統建模為高維空間中的受限測地線系統，引入雙重時間參數。
• 透過約束系統中哈密頓算符與時間演化算符的量子化，推導出時變薛丁頓方程，得到 $\widehat{H}\Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t^0}$。
• 引入 $t^0 = \tau - 2t$，其中 $t$ 為牛頓時間，$\tau = S/E$ 為哈密頓-雅可比作用量所定義的波動時間，作為量子時間參數。
• 應用史東定理，將 $t^0$ 解釋為由 $-i\widehat{H}/\hbar$ 生成的酉群之參數，從而連結至量子動力學。

实验结果

研究问题

• RQ1 時變薛丁頓方程中的時間參數能否從經典力學原理推導而出？
• RQ2 透過赫茲投影推導出的薛丁頓方程中出現的時間 $t^0$，其經典解釋為何？
• RQ3 $E = h\nu$ 關係是否容許一致的經典解釋，特別是在具有週期軌道的系統中？
• RQ4 為何薛丁頓方程中的時間參數在能量本徵態的疊加態中無法具有經典意義？
• RQ5 能否建立一個統一的幾何框架，以調和保守系統中牛頓時間、波動時間與量子時間？

主要发现

• 透過赫茲投影推導出的薛丁頓方程中，時間參數 $t^0$ 為牛頓時間 $t$ 與波動時間 $\tau = S/E$ 的線性組合，表達式為 $t^0 = \tau - 2t$。
• 對於諧振子系統，$t$、$\tau$ 與 $t^0$ 的週期一致，確保 $\nu = E/h$ 與經典頻率相符。
• 在開普勒問題中，$t^0$ 在一個週期內累積至 $-4T$，而波函數相位在 $T$ 時恢復，與 $\nu = E/h$ 一致。
• 薛丁頓方程 $\widehat{H}\Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t^0}$ 對於態的疊加態成立，但 $t^0$ 在此類情況下缺乏經典解釋。
• 量子化規則將經典二階動力學映射至量子演化，其中哈密頓算符 $\widehat{H} = -\frac{1}{2}\hbar^2 \Delta + U$ 自然地從幾何結構中產生。
• 時間 $t^0$ 並非配置空間上的函數，而是切叢上一類1-形式，反映其作為演化參數而非物理觀測量的角色。