[论文解读] Time in Quantum Mechanics

C. A. Moyer|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一套新颖的量子力学框架，其中时间作为物理可观测量，通过由哈密顿量作为时间平移算符生成的态基（称为‘时间态’或‘量子历史’）来处理。尽管泡利定理禁止半有界哈密顿量存在自伴时间算符，本文表明，时间态对任意系统均构成完备且幺正的基，从而可通过POVM实现对事件发生时间的统计描述。其关键贡献在于确立了量子历史作为位置和动量基的合法替代方案，即使在无法一致定义时间算符的情况下亦成立。

ABSTRACT

The failure of conventional quantum theory to recognize time as an observable and to admit time operators is addressed. Instead of focusing on the existence of a time operator for a given Hamiltonian, we emphasize the role of the Hamiltonian as the generator of translations in time to construct time states. Taken together, these states constitute what we call a timeline, or quantum history, that is adequate for the representation of any physical state of the system. Such timelines appear to exist even for the semi-bounded and discrete Hamiltonian systems ruled out by Pauli's theorem. However, the step from a timeline to a valid time operator requires additional assumptions that are not always met. Still, this approach illuminates the crucial issue surrounding the construction of time operators, and establishes quantum histories as legitimate alternatives to the familiar coordinate and momentum bases of standard quantum theory.

研究动机与目标

• 解决量子力学中时间的基础性问题，即时间通常被视为参数而非可观测量。
• 挑战传统观点，即由于泡利定理，时间不能成为可观测量。
• 为任意量子系统（包括半有界或离散哈密顿量系统）构建完备且幺正的时间态基。
• 证明时间态构成有效的量子历史基，从而实现对事件时间的统计预测。
• 厘清时间基与时间算符之间的区别，并确定后者存在的条件。

提出的方法

• 引入以实数系统时间 τ 标记的时间态 |τ⟩，其定义要求哈密顿量作为时间平移算符：|τ+α⟩ = exp(−iĤα)|τ⟩。
• 通过恒等式分辨率确立时间基的完备性：∫|τ⟩⟨τ|dτ = 1。
• 推导时间基的协变性：⟨τ|ψ(t)⟩ = ⟨τ−t|ψ(0)⟩，确保时间平移不变性。
• 利用时间基定义事件时间测量的POVM，避免对自伴时间算符的需求。
• 分析自伴时间算符存在的条件，表明这些条件并非总是满足。
• 将形式体系应用于三维自由粒子，推导出规范时间算符并验证 [T̂, Ĥ] = i。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以为任意量子系统（即使泡利定理禁止自伴时间算符存在时）构建完备且幺正的时间态基？
• RQ2 在不假设时间算符存在的前提下，如何在量子力学中一致地描述事件时间分布？
• RQ3 时间基与自伴时间算符存在性之间有何关系？
• RQ4 能否为三维自由粒子构造时间算符，且其是否满足与哈密顿量的规范对易关系？
• RQ5 时间基是否可作为量子理论中标准位置与动量基的物理上有意义的替代方案？

主要发现

• 对所有量子系统（包括半有界或离散哈密顿量系统）均存在时间态 |τ⟩ 的基，绕过了泡利定理的限制。
• 时间基满足恒等式分辨率与协变性，确保对事件时间的统计预测一致。
• 时间基在弱意义下正交，且允许任意物理态表示为 ∫⟨φ|τ⟩⟨τ|ψ⟩dτ。
• 对三维自由粒子，构造了时间算符 T̂_3d-free，并证明其满足规范对易关系 [T̂, Ĥ] = i。
• 即使自伴时间算符不存在，时间基仍可作为位置与动量基的有效替代。
• 时间基的存在并不意味着时间算符的存在；还需额外的物理与数学条件。