[论文解读] Topological Chern-Simons/Matter Theories

Mina Aganagic, Kevin Costello+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 28

一句话总结

本文提出了一种部分拓扑的3D陈-西蒙斯/物质理论，该理论在具有横截全纯叶状结构（THF）的3-流形上耦合物质场，且在度量无关的微分变形下保持拓扑不变性。该理论源于拉格朗日子3-膜和共 isotropic 5-膜上的拓扑A模型弦理论，被证明等价于THF流形上的N=2超对称陈-西蒙斯物质理论，其分划函数可通过局部化方法与纽结不变量计算得出。

ABSTRACT

We propose a new partially topological theory in three dimensions which couples Chern-Simons theory to matter. The 3-manifolds needed for this construction admit transverse holomorphic foliation (THF). The theory depends only on the choice of such a structure, but not on a choice of metric and in this sense, it is topological. We argue that this theory arises in topological A-model string theory on Lagrangian 3-branes in the presence of additional parallel coisotropic 5-branes. The theory obtained in this way is equivalent to an N=2 supersymmetric Chern-Simons matter theory on the same 3-manifold, which also only depends on the THF structure. The theory is a realization of a topological theory of class H, which allows splitting of a temporal direction from spatial directions. We briefly discuss potential condensed matter applications.

研究动机与目标

• 构建一种3D量子场论，将陈-西蒙斯规范理论与物质场耦合，同时在横截全息叶状结构（THF）的约束下保持拓扑不变性。
• 建立所提出的陈-西蒙斯/物质理论与THF流形上N=2超对称陈-西蒙斯物质理论之间的等价性。
• 证明该理论的分划函数仅依赖于THF结构而非度量，通过局部化至闭合叶实现。
• 表明该理论自然地出现在非紧致卡拉比-丘3-流形上拉格朗日子3-膜与共 isotropic 5-膜的拓扑弦理论中。
• 探索该理论在凝聚态物理中的实现可能性，作为动力任意子与陈-西蒙斯理论在THF背景下的有效低能描述。

提出的方法

• 在具有横截全纯叶状结构（THF）的3-流形上定义理论，使用局部坐标 (t,z)，其中 t 为实的“时间”方向，z 为复坐标，过渡函数保持叶状结构不变。
• 构造一个在保持THF的微分同胚下不变的陈-西蒙斯理论与物质场耦合的行动，确保度量无关性。
• 使用局部化技术论证分划函数局部化至叶状结构的闭合叶的贡献，将路径积分简化为有限维积分。
• 通过物质场积分推导分划函数，得到一个涉及标准陈-西蒙斯理论纽结不变量乘积的公式。
• 在 M³ = S³ 和 S²×S¹ 的特殊情况下，建立产品卡拉比-丘流形上的拓扑弦分划函数与陈-西蒙斯/物质理论之间的等价性。
• 证明在THF流形上进行拓扑扭的3D N=2超对称陈-西蒙斯物质理论，其分划函数与所提出的拓扑理论完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持拓扑不变性的前提下将陈-西蒙斯理论与物质场耦合？
• RQ2 横截全纯叶状结构（THF）在定义部分拓扑3D量子场论中起什么作用？
• RQ3 所提理论的分划函数如何依赖于THF结构而非度量？
• RQ4 在非紧致卡拉比-丘3-流形上，拉格朗日子3-膜与共 isotropic 5-膜的拓扑弦理论是否能重现与陈-西蒙斯/物质理论相同的分划函数？
• RQ5 是否存在该理论在凝聚态物理中的实现，作为动力任意子与陈-西蒙斯规范场耦合的有效低能理论？

主要发现

• 所提出的陈-西蒙斯/物质理论是部分拓扑的，其仅依赖于横截全纯叶状结构（THF）结构，而不依赖于3-流形的度量。
• 分划函数局部化至叶状结构的闭合叶的贡献，通过物质场积分计算得出，结果为标准陈-西蒙斯纽结不变量的乘积公式。
• 当 M³ = S³ 和 S²×S¹ 时，分划函数被显式计算，并与N=2超对称陈-西蒙斯物质理论的分划函数完全一致，参数 b、k 和 m 的取值精确匹配。
• 分划函数表达为 Z = ∑_{R,Q} (-1)^{|R|+|Q|} T_R^{b²} S_RQ(q) T_R^{b^{-2}} Tr_{R^T} V(b,m) Tr_{Q^T} V(1/b,m)，与拓扑弦分划函数一致。
• 该理论实现了“类H”拓扑场论，通过THF结构区分时间与空间，使其在凝聚态系统中具有物理诠释。
• 该模型暗示了动力任意子与陈-西蒙斯理论在凝聚态系统中可能的低能有效描述，其中 S¹ 紧化通过化学势编码热效应或旋转效应。