[论文解读] Topological conformal field theories and Calabi-Yau categories

Kevin J. Costello|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 24

一句话总结

本文通过将卡拉比-丘 $A_{\infty}$ 范畴与拓扑共形场论（TCFT）相关联，对所有亏格的B模型拓扑弦理论建立了严格的代数构造。证明了开TCFT与卡拉比-丘 $A_{\infty}$ 范畴一一对应，并构造了一个开-闭TCFT，其闭扇区产生类似格罗莫夫-威纳不变量的不变量；在特定同调假设下，该构造从紧致辛流形的弗克亚范畴中恢复了标准的格罗莫夫-威纳不变量。

ABSTRACT

This is the first of two papers which construct a purely algebraic counterpart to the theory of Gromov-Witten invariants (at all genera). These Gromov-Witten type invariants depend on a Calabi-Yau A-infinity category, which plays the role of the target in ordinary Gromov-Witten theory. When we use an appropriate A-infinity version of the derived category of coherent sheaves on a Calabi-Yau variety, this constructs the B model at all genera. When the Fukaya category of a compact symplectic manifold X is used, it is shown, under certain assumptions, that the usual Gromov-Witten invariants are recovered. The assumptions are that a good theory of open-closed Gromov-Witten invariants exists for X, and that the natural map from the Hochschild homology of the Fukaya category of X to the ordinary homology of X is an isomorphism.

研究动机与目标

• 提供一种纯粹代数的、严格的高亏格B模型在拓扑弦理论中的构造，该理论此前缺乏正式的数学表述。
• 建立开TCFT与卡拉比-丘 $A_{\infty}$ 范畴之间的对应关系，从而为拓扑弦理论提供范畴框架。
• 证明由卡拉比-丘 $A_{\infty}$ 范畴构造的开-闭TCFT的闭扇区产生类似于格罗莫夫-威纳不变量的不变量。
• 证明在特定同调条件下，当输入为紧致辛流形的弗克亚范畴时，TCFT构造能恢复标准的格罗莫夫-威纳不变量。
• 通过基于 $A_{\infty}$ 范畴与TCFT的范畴框架，统一镜像对称的 $A$ 模型与 $B$ 模型。

提出的方法

• 使用同伦代数与导出范畴，将开TCFT与闭TCFT定义为从黎曼曲面模空间到链复形的函子。
• 通过同伦卡恩扩张构造，从给定的开TCFT构建普遍的开-闭TCFT，确保与粘合公理相容。
• 采用模空间的对偶带状图分解，对带边与带极点的黎曼曲面模空间的同调进行建模。
• 将开-闭TCFT的闭态空间定义为底层 $A_{\infty}$ 范畴的霍赫希尔德同调，从而将代数不变量与物理可观测量联系起来。
• 在链复形的对称张量范畴中应用导出张量积与导出前推，以确保函子性与拓扑粘合的相容性。
• 使用有限正则胞腔复形上的局部系统进行胞腔同调，定义满足埃伦伯格-斯廷罗德公理的同调理论，以建模物理态空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用代数方法严格构造拓扑弦理论的高亏格B模型？
• RQ2 开TCFT与卡拉比-丘 $A_{\infty}$ 范畴之间是否存在范畴对应关系？
• RQ3 由卡拉比-丘 $A_{\infty}$ 范畴构造的开-闭TCFT的闭扇区能否重现紧致辛流形的格罗莫夫-威纳不变量？
• RQ4 在何种同调条件下，与紧致辛流形的弗克亚范畴相关的TCFT能恢复标准的格罗莫夫-威纳不变量？
• RQ5 $A_{\infty}$ 范畴的霍赫希尔德同调与开-闭TCFT中闭扇区的态空间之间有何关系？

主要发现

• 开TCFT与卡拉比-丘 $A_{\infty}$ 范畴等价，从而对开拓扑弦理论给出了精确的代数刻画。
• 与开TCFT相关的普遍开-闭TCFT的闭扇区的态空间，同构于底层 $A_{\infty}$ 范畴的霍赫希尔德同调。
• 当输入为紧致辛流形 $X$ 的弗克亚范畴，且假设开-闭格罗莫夫-威纳理论存在，且霍赫希尔德同调到普通同调的映射是同构时，所得TCFT能恢复标准的格罗莫夫-威纳不变量。
• 该构造首次为所有亏格的B模型提供了严格的数学表述，解决了镜像对称与拓扑弦理论中长期存在的理论空白。
• 使用模空间的对偶带状图分解，确保了TCFT构造中模空间的同调结构被正确捕捉。
• 将卡拉比-丘流形上的凝聚层导出范畴视为卡拉比-丘 $A_{\infty}$ 范畴时，通过此TCFT构造可得到所有亏格的 $B$ 模型。