[论文解读] Homotopy algebras and noncommutative geometry

Alastair Hamilton, Andrey Lazarev|Bristol Research (University of Bristol)|Oct 29, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用 26

一句话总结

本文为 $C_{\nu}$-代数的Hochschild与循环上同调建立了Hodge分解，推广了经典结果，并证明了带有上同调Frobenius结构的单位元 $C_{\nu}$-代数可唯一延拓为辛 $C_{\nu}$-代数——即交换Frobenius代数的 $\infty$-推广。该框架使得在Poincaré对偶空间的同调上定义同伦不变的弦拓扑运算成为可能。

ABSTRACT

We study cohomology theories of strongly homotopy algebras, namely $A_\infty, C_\infty$ and $L_\infty$-algebras and establish the Hodge decomposition of Hochschild and cyclic cohomology of $C_\infty$-algebras thus generalising previous work by Loday and Gerstenhaber-Schack. These results are then used to show that a $C_\infty$-algebra with an invariant inner product on its cohomology can be uniquely extended to a symplectic $C_\infty$-algebra (an $\infty$-generalisation of a commutative Frobenius algebra introduced by Kontsevich). As another application, we show that the `string topology' operations (the loop product, the loop bracket and the string bracket) are homotopy invariant and can be defined on the homology or equivariant homology of an arbitrary Poincare duality space.

研究动机与目标

• 将Hochschild与循环上同调的Hodge分解推广至 $C_{\nu}$-代数，扩展Loday与Gerstenhaber-Schack的前期工作。
• 建立具有上同调不变内积的 $C_{\nu}$-代数与辛 $C_{\nu}$-代数之间的对应关系。
• 证明弦拓扑运算（环路乘积、环路括号、弦括号）是同伦不变的，并可在任意Poincaré对偶空间的同调上定义。
• 发展用于提升辛 $C_n$-结构及其态射的障碍理论，以实现主定理的构造。

提出的方法

• 使用 $\infty$-代数的几何定义：作为配备同调向量场的正式超流形。
• 应用形式非交换微分几何分析 $A_{\infty}$、$C_{\infty}$ 与 $L_{\infty}$-代数的上同调理论。
• 通过几何方法推导Hochschild与循环上同调的Hodge分解，简化了先前的组合方法。
• 利用谱序列与上同调消去条件，构建 $C_n$-代数结构与态射的障碍理论。
• 借助Hodge分解与障碍理论，证明带有Frobenius上同调结构的 $C_{\nu}$-代数在同伦意义下可唯一延拓为辛 $C_{\nu}$-代数。
• 利用所得的辛 $C_{\nu}$-代数结构，通过同伦不变性在有理Poincaré对偶空间的同调上定义弦拓扑运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hochschild与循环上同调的Hodge分解能否超越严格交换代数，推广至 $C_{\nu}$-代数？
• RQ2 在何种条件下，具有上同调不变内积的 $C_{\nu}$-代数可唯一延拓为辛 $C_{\nu}$-代数？
• RQ3 弦拓扑运算（如环路乘积与环路括号）是否为同伦不变，并可在任意Poincaré对偶空间的同调上定义？
• RQ4 控制 $C_n$-代数结构在 $C_{\nu}$-代数上存在性与唯一性的障碍理论为何？
• RQ5 与辛 $C_{\nu}$-代数相关的图同调类如何依赖于底层的 $C_{\nu}$-代数及其上同调内积？

主要发现

• 为 $C_{\nu}$-代数（包括非单位元情形）建立了Hochschild与循环上同调的Hodge分解，推广了早期结果。
• 带有Frobenius上同调结构的单位元 $C_{\nu}$-代数在同伦意义下同伦等价于唯一的辛 $C_{\nu}$-代数。
• 有理Poincaré对偶空间的余链代数在同伦意义下同伦等价于辛 $C_{\nu}$-代数，从而实现同伦不变的弦拓扑运算。
• 弦拓扑运算——环路乘积、环路括号与弦括号——为同伦不变，并可在任意Poincaré对偶空间的同调或等变同调上定义。
• 与辛 $C_{\nu}$-代数相关的图同调类仅依赖于底层 $C_{\nu}$-代数的同伦类及其上同调内积。
• 发展了用于 $C_n$-代数结构与态射的障碍理论，并在主对应定理的证明中加以应用。