[论文解读] Topological correlators of $SU(2)$, $\mathcal{N}=2^*$ SYM on four-manifolds

Jan Manschot, Gregory W. Moore|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 137被引用 4

一句话总结

本文推导出在 $ b_2^+ \geq 1 $ 的光滑紧致四维流形上，$\mathcal{N}=2^*$，$SU(2)$ 超对称杨-米尔斯理论的拓扑关联函数的显式公式，表明其在 $S$-对偶下变换正确，并在 $b_2^+ = 1$ 时为拟模形式。通过 $\mathrm{Spin}^c$ 结构建立了一致的公式化方法，恢复了在 $m \to 0$（Vafa-Witten）和 $m \to \infty$（Donaldson-Witten）极限下的已知结果，并识别出路径积分的全纯部分为瞬子模空间上物质丛的欧拉数的生成函数。

ABSTRACT

We consider topologically twisted $\mathcal{N}=2$, $SU(2)$ gauge theory with a massive adjoint hypermultiplet on a smooth, compact four-manifold $X$. A consistent formulation requires coupling the theory to a ${ m Spin}^c$ structure, which is necessarily non-trivial if $X$ is non-spin. We derive explicit formulae for the topological correlation functions when $b_2^+\geq 1$. We demonstrate that, when the ${ m Spin}^c$ structure is canonically determined by an almost complex structure and the mass is taken to zero, the path integral reproduces known results for the path integral of the $\mathcal{N}=4$ gauge theory with Vafa-Witten twist. On the other hand, we reproduce results from Donaldson-Witten theory after taking a suitable infinite mass limit. The topological correlators are functions of the UV coupling constant $τ_{ m uv}$ and we confirm that they obey the expected $S$-duality transformation laws. The holomorphic part of the partition function is a generating function for the Euler numbers of the matter (or obstruction) bundle over the instanton moduli space. For $b_2^+=1$, we derive a non-holomorphic contribution to the path integral, such that the partition function and correlation functions are mock modular forms rather than modular forms. We comment on the generalization of this work to the large class of $\mathcal{N}=2$ theories of class $S$.

研究动机与目标

• 推导在 $ b_2^+ \geq 1 $ 的四维流形上，$\mathcal{N}=2^*$，$SU(2)$ SYM 的拓扑关联函数的显式公式。
• 通过耦合到 $\mathrm{Spin}^c$ 结构，建立拓扑扭曲场论的一致公式化方法，这对非自旋流形至关重要。
• 证明路径积分的划分函数和关联函数在 $S$-对偶下变换正确，确认其模形式性质。
• 在 $m \to 0$ 极限下，路径积分重现 $\mathcal{N}=4$ 理论的 Vafa-Witten 结果。
• 在 $m \to \infty$ 极限下恢复 Donaldson-Witten 不变量，将 $\mathcal{N}=2^*$ 理论与 Donaldson 理论联系起来。

提出的方法

• 通过具有特征类 $c_{\rm uv}$ 的 $\mathrm{Spin}^c$ 结构来表述路径积分，这在存在大质量伴随超多重态时是实现一致耦合所必需的。
• 拓扑关联函数作为同调类的正式幂级数进行计算，生成函数通过涉及修正预势 $\tilde{\mathcal{F}}$ 的库仑分支积分表达。
• 当 $b_2^+ = 1$ 时，推导出非全纯修正项，以确保划分函数作为拟模形式变换而非普通模形式。
• 划分函数的全纯部分被识别为瞬子模空间上物质丛的欧拉数的生成函数。
• 通过分析划分函数在 $\tau_{\rm uv} \to -1/\tau_{\rm uv}$ 下的模形式性质，验证了 $S$-对偶变换规律。
• 通过库仑分支积分的渐近分析，取 $m \to 0$ 和 $m \to \infty$ 极限，重现了来自 $\mathcal{N}=4$ 和 Donaldson-Witten 理论的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在四维流形上，$\mathcal{N}=2^*$，$SU(2)$ SYM 的拓扑关联函数如何依赖于紫外耦合 $\tau_{\rm uv}$ 和质量参数 $m$？
• RQ2 在非自旋流形上，$\mathrm{Spin}^c$ 结构在公式化拓扑场论中的作用是什么？
• RQ3 划分函数和关联函数在 $S$-对偶下的行为如何？它们是否作为模形式或拟模形式变换？
• RQ4 在 $m \to 0$ 和 $m \to \infty$ 极限下会发生什么？它们是否重现了来自 $\mathcal{N}=4$ 和 Donaldson-Witten 理论的已知结果？
• RQ5 划分函数的全纯部分与瞬子模空间上物质丛的欧拉数之间的确切关系是什么？

主要发现

• 拓扑关联函数在度量形变下保持不变（至多相差一个全微分），确认其为光滑流形不变量。
• 当 $b_2^+ = 1$ 时，划分函数为拟模形式，需引入非全纯修正项以实现模形式性质。
• 划分函数的全纯部分生成了瞬子模空间上物质丛的欧拉数。
• 在 $m \to 0$ 极限下，路径积分重现了 Vafa-Witten 扭曲 $\mathcal{N}=4$ 理论的已知结果。
• 在 $m \to \infty$ 极限下，理论退化为 Donaldson-Witten 理论，通过 Seiberg-Witten 映射恢复了 Donaldson 不变量。
• 确认了 $S$-对偶变换规律：划分函数在 $\tau_{\rm uv} \to -1/\tau_{\rm uv}$ 下变换正确，耦合常数 $\tau_{\rm uv}$ 作为模参数变换。