[论文解读] Topological Data Analysis (TDA) for Time Series

Налини Равишанкер, Renjie Chen|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 66被引用 18

一句话总结

本文对时间序列的拓扑数据分析（TDA）进行了全面综述，重点探讨了通过Takens嵌入使用持久同调提取拓扑特征以实现分类、聚类和结构断裂检测的方法。结果表明，TDA导出的特征在时间序列分类中优于传统方法（如SVM），并能有效检测金融和生物时间序列中的关键转变。

ABSTRACT

The study of topology is strictly speaking, a topic in pure mathematics. However in only a few years, Topological Data Analysis (TDA), which refers to methods of utilizing topological features in data (such as connected components, tunnels, voids, etc.) has gained considerable momentum. More recently, TDA is being used to understand time series. This article provides a review of TDA for time series, with examples using R functions. Features derived from TDA are useful in classification and clustering of time series and in detecting breaks in patterns.

研究动机与目标

• 系统性回顾专用于时间序列分析的TDA方法，强调使用R语言进行实际实现。
• 通过利用捕捉形状和持久性的拓扑特征，解决复杂、非线性和非平稳时间序列的分析挑战。
• 展示TDA在实际应用中的实用性，如金融市场分析、生物信息学和运动传感器数据。
• 弥合计算拓扑学的理论概念与时间序列情境下应用统计学习之间的差距。
• 突出TDA在检测时间序列数据中模式、周期性和制度转变方面的优势，相较于传统方法。

提出的方法

• 使用延迟τ和嵌入维数d的Takens嵌入，将单变量时间序列转换为相空间中的点云。
• 从嵌入的点云构建Vietoris-Rips复形，以在不同尺度下建模拓扑空间。
• 计算持久同调，以追踪不同尺度下拓扑特征（如连通分支、环路）的出生与死亡，汇总为持久图。
• 从持久图中推导出汇总统计量，如贝蒂序列和持久景观，用于下游机器学习任务。
• 将持久景观的L1范数用作滑动窗口中时间序列聚类和异常检测的标量特征。
• 将TDA特征集成到监督学习流程中，如一维卷积神经网络，用于时间序列分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 与传统方法相比，从持久同调中提取的拓扑特征在时间序列分类中能如何提升性能？
• RQ2 TDA在检测非平稳时间序列（如加密货币价格数据）中的结构断裂和关键转变方面，其有效程度如何？
• RQ3 TDA特征在捕捉具有复杂或噪声模式的时间序列中的周期性和隐藏动力学方面表现如何？
• RQ4 Takens嵌入在将时间序列转换为点云时，如何保持拓扑结构？
• RQ5 基于TDA的特征能否在聚类等无监督学习任务中有效用于识别不同的动力学状态？

主要发现

• 通过持久同调提取的TDA特征在时间序列分类任务中优于支持向量机（SVM），特别是在与一维卷积神经网络结合时表现更优。
• 1阶同调群的持久景观L1范数成功识别了加密货币价格数据中拓扑上不同的状态，实现了在市场崩盘前检测关键转变。
• 使用嵌入时间序列的滑动窗口和持久景观特征进行结构断裂检测，揭示了高度波动的金融时间序列中的制度转变。
• TDA方法在数据变换和噪声下表现出鲁棒性，这在脑电信号（EEG）数据分析的随机性测试中得到验证。
• 对基于加权傅里叶级数表示的EEG数据导出的莫尔斯函数进行持久同调分析，保留了拓扑结构，并实现了对生物信号的有效分析。
• 将TDA特征集成到深度学习模型中，显著提升了在运动传感器数据和金融时间序列等多样化领域中的分类准确率。