[论文解读] Topological groups and invariant measures

Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2015

advanced mathematical theories参考文献 53被引用 4

一句话总结

本文以讲座形式全面阐述了拓扑群与不变测度，重点讨论了局部紧群上哈尔测度的存在性与性质。文中提供了哈尔测度存在性的多种证明，探讨了模特征、齐性空间上的不变测度，并将其应用于格拉斯曼流形与正交群，同时涵盖了逆极限、虚幻置换与高斯测度等高级主题。

ABSTRACT

Lecture notes in Russian. Topics: the Haar measure (abstract theorems and explicit descriptions for different groups), measures on infinite-dimensional spaces with large natural groups of symmetries (Gaussian measures, Poisson measures, virtual permutations, inverse limits of unitary groups), zoo of examples of topological groups, generalities for large (infinite-dimensional) groups, polymorphisms.

研究动机与目标

• 建立具有可数基的拓扑群及其局部紧致结构的基础理论。
• 证明局部紧致拓扑群上左不变哈尔测度的存在性与唯一性。
• 探讨模特征及齐性空间（包括格拉斯曼流形与正交群）上的不变测度。
• 将理论扩展至群与空间的逆极限，包括酉群与对称群。
• 研究高斯与泊松测度的对称性，及其与调和分析和表示理论的联系。

提出的方法

• 基于乘法与取逆的连续性，利用拓扑群公理，聚焦于具有可数基的局部紧致群。
• 采用多种证明方法（例如通过不变平均、里斯表示定理）证明哈尔测度的存在性。
• 引入模特征作为同态，用于度量群的非单模性。
• 通过从基群提升构造齐性空间 G/H 上的不变测度。
• 应用逆极限构造方法，定义测度空间与群的投射极限，如 U(∞) 与虚幻置换。
• 利用柯尔莫哥洛夫定理，在具有相容投影的勒贝格空间序列的逆极限上构造典范测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有可数基的局部紧致拓扑群上构造哈尔测度？
• RQ2 模特征在刻画左不变与右不变测度中的作用是什么？
• RQ3 格拉斯曼流形与正交群上的不变测度如何与群作用及表示理论相关联？
• RQ4 酉群逆极限的结构是什么？它如何支持不变测度？
• RQ5 高斯与泊松测度的对称性如何与拓扑群上的调和分析相关联？

主要发现

• 在任意具有可数基的局部紧致拓扑群上，存在唯一的（至多相差一个常数倍）左不变 σ-有限博雷尔测度——即哈尔测度。
• 在紧致群上，哈尔测度是有限的，并且在左平移、右平移及取逆下均不变。
• 模特征量化了右平移下不变性的失效，是一个取值于 ℝ⁺ 的连续同态。
• 当 H 是闭正规子群时，齐性空间 G/H 上的不变测度存在，并可通过哈尔测度的推出构造。
• 具有相容投影的勒贝格空间序列的逆极限，可通过柯尔莫哥洛夫延拓定理赋予典范不变测度。
• 虚幻置换空间与群 U(∞) 自然地作为逆极限出现，支持不变测度，并可用来分析特征值分布与对称性。