[论文解读] Topological invariants of symmetry-protected and symmetry-enriched topological phases of interacting bosons or fermions

Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2013

Quantum Mechanics and Applications被引用 2

一句话总结

该论文提出，通过使用群上同调类 $\mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 可对相互作用玻色子或费米子的对称性保护拓扑（SPT）相进行分类，并表明诸如点缺陷上的分数化量子数以及缺陷线/膜上的分数化SPT态等拓扑不变量可作为这些相的实验可观测量。一个关键结果是，在 $Z_n$ SPT态中，$n$ 个单色缺陷共同携带总 $Z_n$-电荷 $2m$，其中 $m$ 在 $\mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_n$ 中标记SPT相。

ABSTRACT

Recently, it was realized that quantum states of matter can be classified as long-range entangled (LRE) states (i.e. with non-trivial topological order) and short-range entangled (SRE) states (\ie with trivial topological order). We can use group cohomology class ${\cal H}^d(SG,R/Z)$ to systematically describe the SRE states with a symmetry $SG$ [referred as symmetry-protected trivial (SPT) or symmetry-protected topological (SPT) states] in $d$-dimensional space-time. In this paper, we study the physical properties of those SPT states, such as the fractionalization of the quantum numbers of the global symmetry on some designed point defects, and the appearance of fractionalized SPT states on some designed defect lines/membranes. Those physical properties are SPT invariants of the SPT states which allow us to experimentally or numerically detect those SPT states, i.e. to measure the elements in ${\cal H}^d(G, R/Z)$ that label different SPT states. For example, 2+1D bosonic SPT states with $Z_n$ symmetry are classified by a $Z_n$ integer $m \in {\cal H}^3(Z_n, R/Z)=Z_n$. We find that $n$ identical monodromy defects, in a $Z_n$ SPT state labeled by $m$, carry a total $Z_n$-charge $2m$ (which is not a multiple of $n$ in general).

研究动机与目标

• 通过群上同调 $\mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 系统地对具有全局对称性 $SG$ 的短程纠缠（SRE）拓扑相进行分类。
• 识别物理可观测量——例如点缺陷上的分数化量子数——作为SPT态的拓扑不变量。
• 展示缺陷线或膜如何可承载分数化的SPT态，从而为底层拓扑秩序提供探测手段。
• 在 $d$ 维时空中建立抽象上同调类与可测量物理量之间的直接联系。
• 提供一种通过测量设计的拓扑缺陷上的对称性量子数来实验或数值探测SPT相的框架。

提出的方法

• 利用群上同调 $\mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 对具有全局对称性 $SG$ 的 $d$ 维SPT相进行分类。
• 分析SPT态中点状缺陷（如单色缺陷）上全局对称性量子数的分数化。
• 在体SPT态中构建缺陷线和膜，以承载低维SPT相，揭示对称性丰富化的拓扑序。
• 推导出在 $Z_n$ SPT态中，$n$ 个相同单色缺陷所携带的总 $Z_n$-电荷为 $2m$，其中 $m \in \mathbb{Z}_n$。
• 依赖拓扑场论和任意Anyon统计，计算缺陷对对称性通量和任意Anyon编织的响应。
• 确立了上同调类 $m \in \mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_n$ 可通过 $n$ 个缺陷的总电荷进行测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将通过群上同调 $\mathcal{H}^d(SG, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$ 对SPT相的分类与可测量的物理可观测量联系起来？
• RQ2 在 $Z_n$ SPT态中，点缺陷上的对称性量子数分数化现象是什么？
• RQ3 体SPT态中的缺陷线或膜能否承载其自身的分数化SPT序？
• RQ4 在由 $m$ 标记的 $Z_n$ SPT态中，$n$ 个单色缺陷所携带的总 $Z_n$-电荷是多少？
• RQ5 如何在实验或数值上探测上同调类 $m \in \mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$？

主要发现

• 在 $Z_n$ SPT态中，$n$ 个相同单色缺陷所携带的 $Z_n$-电荷为 $2m$，其中 $m \in \mathbb{Z}_n$ 标记SPT相。
• 该总电荷 $2m$ 不一定是 $n$ 的倍数，表明存在非平凡的拓扑响应，从而证实了SPT相的非平庸性。
• 群上同调类 $\mathcal{H}^3(Z_n, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_n$ 完全分类了具有 $Z_n$ 对称性的二维半空间（2+1D）玻色子SPT态。
• 缺陷上全局对称性量子数的分数化提供了区分不同SPT相的物理不变量。
• 缺陷线和膜可承载低维SPT态，从而揭示系统中对称性丰富化的拓扑序。
• 可测量的拓扑不变量——如 $n$ 个缺陷上的总电荷——使得能够实验或数值探测上同调类 $m$。