[论文解读] Topological Order and Symmetry Anomaly on the Surface of Topological Crystalline Insulators

Sungjoon Hong, Liang Fu|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2017

nanoparticles nucleation surface interactions被引用 8

一句话总结

本文构建了微观哈密顿量，实现了在拓扑晶态绝缘体（TCI）表面由镜像对称性保护的、对称性保持的阿贝尔拓扑序。利用耦合导线方法，研究展示了在SnTe中n=2个狄拉克费米子复现的费米子ℤ₄拓扑序，其具有新颖的镜像对称性异常，即两个平行镜面平面以不同方式作用于任意子，表现出电荷-自旋自对偶性以及非平凡的任意子置换。

ABSTRACT

We present microscopic Hamiltonians that gap the Dirac fermions on the surface of topological crystalline insulators (TCIs) protected by reflection symmetry and create symmetry-preserving states with Abelian topological orders. For TCIs with $n = 2$ copies of surface Dirac fermions, we find a fermionic $\mathbb{Z}_4$ topological order with charge-spin self duality and with a novel symmetry action on the anyons, whereby reflections with respect to two parallel planes act differently. We also analyze TCIs with $n = 1$ and $4$ copies of Dirac fermions, which taken together covers every nontrivial case in the $\mathbb{Z}_8 \oplus \mathbb{Z}_2$ classification of interacting TCIs. Our work reveals a fundamental difference between reflection and charge-conjugation-time-reversal symmetry anomalies.

研究动机与目标

• 构建微观模型，实现在拓扑晶态绝缘体（TCI）表面的能隙化、对称性保持的拓扑序。
• 研究在强电子关联作用下，镜像对称性如何在表面拓扑序的任意子上表现出异常行为。
• 通过分析n=1、2和4个表面狄拉克费米子复本，完成对相互作用TCI的完整分类，涵盖ℤ₈⊕ℤ₂分类。
• 将镜像对称性异常与以往研究的电荷共轭-时间反演对称性异常在拓扑相中的表现进行对比。
• 利用耦合导线方法，提供具有非平凡任意子统计和对称性分数化特征的表面拓扑序的微观实现。

提出的方法

• 通过周期性交替的狄拉克质量项，将二维表面狄拉克费米子变形为一维边缘态阵列。
• 应用耦合导线方法，构建具有能隙体态和受保护边缘模式的微观哈密顿量。
• 引入两 Majorana 任意子相互作用项 $ H_{\text{int}} = iV\sum_j \int dx\, \gamma_{j,R}\gamma_{j+1,L}\cos(\Theta_j - \Theta_{j+1}) $，在保持镜像对称性的前提下实现系统能隙化。
• 通过 $ \psi^n \sim e^{i(\phi_{+,j} - \phi_{-,j})} $ 将涌现的费米子自由度映射到物理电子算符和玻色子算符，确保物理一致性。
• 将任意子识别为 $ \Theta $ 场的扭结和涌现费米子，其融合规则为 $ \boldsymbol{s} \times \boldsymbol{s} \sim I $，$ \boldsymbol{\psi} \times \boldsymbol{\psi} \sim I $，表明存在ℤ₄拓扑序。
• 分析镜像对称性 $ M_y $ 对任意子的作用，显示 $ \boldsymbol{s} \leftrightarrow \boldsymbol{s}\boldsymbol{\psi} $，而 $ \boldsymbol{\psi} $ 不变，揭示非平凡异常。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过微观模型在具有n=2个狄拉克费米子的TCI表面实现能隙化、对称性保持的拓扑序？
• RQ2 在TCI表面拓扑序中，镜像对称性如何作用于任意子？其作用是否可能异常？
• RQ3 对于n=2的TCI，该拓扑相中任意子的统计性质和融合规则为何种形式？
• RQ4 TCI中的镜像对称性异常与其它拓扑相中已研究的电荷共轭-时间反演对称性异常有何本质区别？
• RQ5 耦合导线方法能否系统地用于构建和分析具有不同狄拉克费米子复本数的TCI表面的拓扑序？

主要发现

• 在TCI表面的n=2个狄拉克费米子复本中，实现了具有电荷-自旋自对偶性和非平凡任意子融合规则的费米子ℤ₄拓扑序。
• 镜像对称性对任意子的作用表现出异常：在两个平行镜面平面间的反射会以不同方式置换任意子，表现为 $ \boldsymbol{s} \leftrightarrow \boldsymbol{s}\boldsymbol{\psi} $，而 $ \boldsymbol{\psi} $ 保持不变。
• 任意子内容为 $ \{I, \boldsymbol{s}\} \times \{I, \boldsymbol{\psi}\} $，其中 $ \boldsymbol{s} \times \boldsymbol{s} \sim I $，$ \boldsymbol{\psi} \times \boldsymbol{\psi} \sim I $，确认了ℤ₄拓扑序的存在。
• 该模型实现了具有禁闭任意子的能隙化、对称性保持的表面态，其中（反）任意子由 $ e^{i\phi_{+,j}} $ 产生，其输运由局域玻色子算符介导。
• Majorana边缘模保持无能隙，尽管存在阿贝尔拓扑序，仍确认了该相的拓扑本质。
• 分析表明，该镜像对称性异常与电荷共轭-时间反演对称性异常本质不同，其根源在于空间反射下任意子置换模式的差异。