[论文解读] Topological Persistence in Geometry and Analysis

Leonid Polterovich, Daniel Rosen+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 80被引用 4

一句话总结

本文建立了一套基础框架，将拓扑持久性与辛几何及分析联系起来，引入了哈密顿持久模和辛巴拿赫-马祖尔距离。证明了通过使用向下 exhausting 序列，可以利用弗洛尔同调的逆极限计算椭球体的过滤辛同调，从而得到了以动作参数的上取整函数表示的同调的显式公式。

ABSTRACT

The theory of persistence modules is an emerging field of algebraic topology which originated in topological data analysis. In these notes we provide a concise introduction into this field and give an account on some of its interactions with geometry and analysis. In particular, we present applications of persistence to symplectic topology, including the geometry of symplectomorphism groups and embedding problems. Furthermore, we discuss topological function theory which provides a new insight on oscillation of functions. The material should be accessible to readers with a basic background in algebraic and differential topology.

研究动机与目标

• 开发几何与分析背景下拓扑持久性的系统理论，特别是在辛拓扑中。
• 弥合持久同调与过滤辛同调、谱不变量等辛不变量之间的联系。
• 利用持久模结构和逆极限，为辛不变量提供计算工具。
• 修正并完善辛持久性的基础定义，包括带无纽结条件的辛巴拿赫-马祖尔距离。
• 通过谱范数和作用窗口，建立条形码不变量与哈密顿动力学之间的联系。

提出的方法

• 通过星形区域上哈密顿函数的过滤弗洛尔同调，引入哈密顿持久模。
• 利用哈密顿函数的向下 exhausting 序列，应用逆极限原理来计算过滤辛同调。
• 使用避免临界作用值的单调同伦，以确保过滤同调群之间的同构。
• 利用正规型定理和等距定理，将条形码与局部有限型持久模联系起来。
• 通过无纽结条件定义辛巴拿赫-马祖尔距离，以确保与持久模理论的兼容性。
• 应用巴拿赫指标函数和单纯形计数方法，将条形码与函数论中的振荡和逼近联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地应用持久模来计算如过滤辛同调等辛不变量？
• RQ2 在何种条件下，过滤弗洛尔同调在单调同伦下保持不变？
• RQ3 哈密顿系统的条形码结构如何反映其底层辛流形的几何与动力学性质？
• RQ4 何种形式的辛巴拿赫-马祖尔距离能与持久模理论相容？
• RQ5 作用窗口与谱不变量在何种方式下与哈密顿系统的条形码结构相关？

主要发现

• 椭球体 $E(1,N,...,N)$ 的过滤辛同调在度数 $* = -2\big{|}\left\lceil -a \right\rceil\big{|} - 2(n-1)\bigg{|}\left\lceil \frac{-a}{N} \right\rceil\bigg{|}$ 处同构于 $\mathbb{Z}_2$，在其余所有度数处为零。
• 沿向下 exhausting 序列 $\{H_i\}$ 的过滤弗洛尔同调群的逆极限，对序列中任意 $H_i$ 同构于 $\mathrm{HF}_*^{(a,\infty)}(H_i)$，从而实现有效计算。
• 辛巴拿赫-马祖尔距离通过无纽结条件定义，确保与持久模理论兼容，并防止不对称性。
• 对任意 $a > 0$，序列 $h_a(U)$ 构成过滤弗洛尔同调逆系统的向下 exhausting 序列，使得可应用命题 9.7.1。
• 当作用窗口 $(a, \infty)$ 仅包含一个 1-周期轨道（全局最大值）时，过滤弗洛尔同调在 $\mathbb{Z}_2$ 上为 1 维。
• 原点处不动点的指标为 $\mathrm{Ind}(0) = -2\big{|}\left\lceil -a \right\rceil\big{|} - 2(n-1)\bigg{|}\left\lceil \frac{-a}{N} \right\rceil\bigg{|}$，决定了非平凡同调类的度数。