[论文解读] Topological quantum field theory and hyperkähler geometry

Justin Sawon|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2000

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文通过将源自超凯勒流形上同调的超凯勒权系统——应用于基于LMO不变量的村上-大槻TQFT——构建了一个超凯勒拓扑量子场论（TQFT）。关键结果是，由此产生的TQFT与罗赞斯基-惠特尼理论具有相同的希尔伯特空间，暗示有限型不变量与超凯勒几何之间存在深刻联系。

ABSTRACT

Rozansky and Witten proposed a 3-dimensional sigma-model whose target space is a hyperkähler manifold. They conjectured that this theory has an associated TQFT, with Hilbert spaces given by certain cohomology groups of the hyperkähler manifold. On the other hand, there is a certain modified TQFT constructed by Murakami and Ohtsuki using the universal quantum invariant. We explain how the Rozansky-Witten TQFT can be obtained from the latter by applying a `hyperkähler weight system'.

研究动机与目标

• 通过将源自超凯勒流形的权系统应用于村上-大槻TQFT，建立一个超凯勒TQFT。
• 研究由此产生的TQFT是否与罗赞斯基-惠特尼理论的希尔伯特空间一致，特别是针对亏格g的黎曼曲面。
• 在村上-大槻TQFT框架内，通过上同调配对重新解释罗赞斯基-惠特尼可观测量。
• 在村上-大槻构造的基础上，研究映射类群在超凯勒希尔伯特空间上的作用。
• 解决将权系统应用于具有不连通边界之3-流形时的技术挑战。

提出的方法

• 利用村上-大槻TQFT，这是一种基于LMO不变量和3-流形的通用有限型不变量的修正TQFT。
• 将源自超凯勒流形及其向量丛上同调的超凯勒权系统，应用于村上-大槻TQFT的图示空间。
• 在具有定向边和指定子空间上单价顶点的三价图上使用弦图，并在AS、IHX、STU及分支关系下取商。
• 引入一个映射ρ，将g个区间的图示空间映射到通过将树Δ连接到区间上形成的图Γ的图示空间。
• 通过使用带标签的插槽和基于根的分支关系，将Γ的树部分上的弦图腿“推”到区间部分，构造一个逆映射σ。
• 通过证明σ是良定义的逆映射，从而证明ρ是A(∅)-模的同构，其中使用了包括目标空间中STU关系在内的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在村上-大槌TQFT上一致地应用超凯勒权系统，以构造出与罗赞斯基-惠特尼理论具有相同希尔伯特空间的TQFT？
• RQ2 该TQFT的希尔伯特空间在多大程度上依赖于超凯勒流形上的复结构选择？
• RQ3 在村上-大槻框架中，罗赞斯基-惠特尼可观测量在多大程度上可作为TQFT向量与上同调类之间的配对被恢复？
• RQ4 区间上的图示空间与带树附着的图上的图示空间之间的同构，对TQFT结构有何影响？
• RQ5 如何从村上-大槻TQFT推导出映射类群在超凯勒希尔伯特空间上的作用？

主要发现

• 通过在村上-大槻TQFT上应用权系统构建的超凯勒TQFT，其希尔伯特空间与罗赞斯基-惠特尼理论相同：H_g = ⨁_q H^q(X, (Λ^•T)^⊗g)。
• 映射ρ: A(⊔_i=1^g I) → A(Γ)是A(∅)-模的同构，通过构造一个将弦图腿从Γ的树部分推到区间部分的逆映射σ而得证。
• 逆映射σ在STU关系下是良定义的，因为将腿滑过根时的歧义性在目标图示空间中由已知恒等式消除。
• 该构造建立了一个图示同构，使得TQFT结构可从基于区间的图示空间转移到基于图的空间。
• 罗赞斯基-惠特尼理论的所有可观测量均可作为TQFT向量与超凯勒流形上同调类之间的配对被恢复，如命题4.1所形式化。
• 该方法表明，LMO不变量与罗赞斯基-惠特尼不变量背后存在一个通用的有限型结构，支持两个TQFT等价的猜想。