[论文解读] Topological versus Landau-like phase transitions

Lokman Tsui, Fa Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Quantum many-body systems参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文研究了由对称性破缺驱动的朗道型相变与在相同对称性下不同对称保护拓扑相之间的拓扑相变之间的区别。提出了一种类全息对偶，将d维对称保护拓扑（SPT）相变的临界点映射到具有增强的$G \times Z_2^T$对称性的(d+1)维SPT的边界，表明临界激发是边界模式的非局域化版本。关键结果是SPT临界点需要$ c \geq 1 $的共形场论（CFT）和项目化表示，这与单位系极小模型（$c<1$）不相容，从而将其与朗道型相变区分开来。

ABSTRACT

The study of continuous phase transitions triggered by spontaneous symmetry breaking has brought new concepts that revolutionized the way we understand many-body systems. Recently, through the discovery of symmetry protected topological phases, it is realized that quantum phase transition between states with the same symmetry but different topology can also occur continuously. Here we ask "what distinguishes these two types of phase transitions".

研究动机与目标

• 理解由自发对称性破缺驱动的朗道型相变与在相同对称性下不同对称保护拓扑相之间的拓扑相变之间的基本差异。
• 建立一种全息对应关系，使得d维SPT相变的临界点可被实现为具有$(d+1)$维$G \times Z_2^T$对称性的SPT的边界。
• 证明SPT相变中的临界激发是非平凡SPT相边界上能隙边界模式的非局域化版本。
• 表明SPT临界点无法用单位系极小模型（$c<1$）描述，而朗道型相变可以，这是由于对称群项目化表示的需要。
• 识别可描述SPT相变的共形场论（$c \geq 1$）的最小集合，并探讨其临界行为中的开放问题。

提出的方法

• 构建一个具有$G \times Z_2^T$对称性的(d+1)维SPT相，其中$Z_2^T$对哈密顿量进行复共轭并反转一个伊辛型变量。
• 通过使伊辛域壁凝聚并为每个域壁附加一个非平凡的$G$-对称SPT，实现该SPT。
• 将d维SPT相变映射到该高维SPT的边界，其中相变由破坏$Z_2^T$对称性的边界场诱导。
• 使用共形场论（CFT）分析边界的临界理论，识别具有全纯和反全纯标度维数$h$、$\bar{h}$的初级算符。
• 利用精确可解模型（如$SO(3)$的海森堡链、$Z_2 \times Z_2$的XX模型）验证CFT描述，并匹配边缘激发的量子数。
• 将SPT临界点的中心电荷$c$和算符内容与朗道型相变（特别是$c<1$的单位系极小模型）进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称保护拓扑（SPT）相变的临界点能否由中心电荷$c<1$的共形场论描述？
• RQ2 是否存在一种全息对偶，能将SPT相变的体临界点映射到具有增强对称性的更高维SPT的边界？
• RQ3 SPT相变的临界激发是否源于非平凡SPT相中能隙边界模式的非局域化版本？
• RQ4 为何SPT临界点需要对称群的项目化表示？这如何将其与朗道型相变区分开来？
• RQ5 哪类共形场论（$c \geq 1$或$c<1$）可描述SPT相变？这对临界点处涌现对称性有何影响？

主要发现

• 自旋SPT相变的临界理论无法用单位系极小模型（$c<1$）描述，因为这些模型缺乏具有项目化表示的简并初级算符。
• 对于一维$SO(3)$-对称SPT相变，临界点由中心电荷$c=1$的$SU(2)_1$威斯-祖米诺-威滕模型描述，自旋子激发对应于$SO(3)$的项目化表示。
• 对于$Z_2 \times Z_2$-对称SPT相变，临界点由中心电荷$c=1$的XX模型描述，初级算符具有标度维数$h=9/32$、$\bar{h}=1/32$（或反之），且$h+\bar{h}=5/16$。
• 预测$Z_3 \times Z_3$-对称SPT相变的中心电荷为$c=8/5$，与SPT临界性要求的$c \geq 1$一致。
• 全息构造将SPT相变映射到具有$G \times Z_2^T$对称性的(d+1)维SPT的边界，其中临界点源于边界处$Z_2^T$对称性的破缺。
• 结果表明SPT临界点与朗道型相变本质不同，因为它们需要$c \geq 1$的CFT和项目化对称表示，而这些在极小模型中均不存在。