[论文解读] Topological vertex for Higgsed 5d $T_N$ theories

Hirotaka Hayashi, Gianluca Zoccarato|arXiv (Cornell University)|May 1, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文首次将拓扑顶点直接应用于Higgs化后的5d $T_N$ 理论，这些理论是非toric的，此前无法通过标准的精化拓扑顶点方法处理。通过修改顶点形式化以处理非toric几何，作者计算了高阶 $E_6$、$E_7$ 和 $E_8$ 理论的划分函数，并将该方法扩展至精化情形，采用修改后的顶点规则，显著简化了以往多步计算流程。

ABSTRACT

We analyse the computation of the partition function of 5d $T_N$ theories in Higgs branches using the topological vertex. The theories are realised by a web of $(p,q)$ 5-branes whose dual description may be given by an M-theory compactification on a certain local non-toric Calabi-Yau threefold. We explicitly show how it is possible to directly apply the topological vertex to the non-toric geometry. Using this novel technique, which considerably simplifies the computation by the existing method, we are able to compute the partition function of the higher rank $E_6$, $E_7$ and $E_8$ theories. Moreover we show how in some specific cases similar results can be extended to the computation of the partition function of 5d $T_N$ theories in the Higgs branch using the refined topological vertex. These cases require a modification of the refined topological vertex.

研究动机与目标

• 开发一种直接计算5d $T_N$ 理论在Higgs分支中Nekrasov划分函数的方法，这些理论是非toric的，因此无法通过标准的精化拓扑顶点技术处理。
• 通过使拓扑顶点能直接应用于Higgs化后的web图，简化现有涉及UV理论嵌入、模空间调节和单态移除的多步计算流程。
• 将精化拓扑顶点形式化扩展至处理Higgs化 $T_N$ 理论中出现的特定非toric几何，需要对顶点规则进行修改。
• 通过确认划分函数中非物理单态贡献的正确移除，验证超共形指数中全局对称性的增强。

提出的方法

• 作者将拓扑顶点直接应用于与非toric Calabi-Yau三fold对偶的Higgs化web图，避免了对UV理论嵌入和模空间调节的需求。
• 他们提出了一种精化拓扑顶点的修改版本，以处理非toric几何，特别是在对称性增强或特定超多重态内容的情况下。
• 该方法依赖于解析延拓和zeta函数正则化，以管理发散因子并确保与拓扑弦振幅的一致性。
• 通过使用修改后的顶点规则，将矢量、基础和反对称超多重态的贡献组合起来计算划分函数。
• 划分函数的微扰部分由包含 $q$、$t$ 和 $Q$ 的无限乘积恒等式的乘积推导得出，对发散因子进行了仔细处理并应用了解析延拓。
• 作者将所得的微扰划分函数与拓扑弦理论中的已知结果进行比较，确认在正则化和因子移除后结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将拓扑顶点直接应用于与非toric Calabi-Yau三fold对偶的Higgs化5d $T_N$ 理论？
• RQ2 为在Higgs化产生的非toric几何中计算划分函数，对精化拓扑顶点需要做出何种修改？
• RQ3 如何在不进行UV理论嵌入和模空间调节的情况下，直接计算高阶 $E_6$、$E_7$ 和 $E_8$ 理论的划分函数？
• RQ4 发散因子和正则化在将微扰划分函数与拓扑弦结果匹配的过程中起什么作用？
• RQ5 修改后的顶点形式化是否能正确再现超共形指数中观察到的全局对称性增强？

主要发现

• 作者成功使用直接的拓扑顶点方法，在非toric几何上计算了 $E_6$、$E_7$ 和 $E_8$ gauge群的5d $T_N$ 理论在Higgs分支中的划分函数。
• 提出了一种精化拓扑顶点的修改版本，以处理非toric图，实现了无需UV理论嵌入和模空间调节的直接计算。
• 推导出具有 $N_f$ 个基础超多重态和一个反对称超多重态的 $Sp(N)$ gauge理论的微扰划分函数，并在移除发散因子并应用正则化后与已知结果一致。
• 当反对称超多重态质量设为零时，其贡献抵消了部分矢量多重态贡献，留下一个剩余的 $Z_{\text{pert}}$，与 $E_N$ 理论的预期形式一致。
• 该方法确认了超共形指数中全局对称性的增强，因为正确移除非物理单态贡献后，结果与已知的固定点行为一致。
• 推导出的微扰划分函数与拓扑弦结果的比较在发散因子和正则化处理后保持一致，验证了该方法的有效性。