[论文解读] Topologically Distinct Lagrangian and Symplectic Fillings

Chang Cao, Nathaniel Gallup+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用 3

一句话总结

该论文在 $S^3$ 中构造了无穷多个具有任意多个拓扑互异的精确拉格朗日子流形填充的传奇链，表明此类填充的拓扑并非仅由托尔斯坦-本尼金不变量决定。通过结合拉格朗日手柄附加、旋转构造和分支覆盖，作者建立了新的辛填充示例，并证明高维中的传奇子流形可具有任意大的切卡诺夫或生成族同调不变量。

ABSTRACT

We construct infinitely many Legendrian links in the standard contact $\mathbb{R}^3$ with arbitrarily many topologically distinct Lagrangian fillings. The construction is used to find links in $S^3$ that bound topologically distinct pieces of algebraic curves in $B^4 \subset \mathbb{C}^2$, is applied to find contact 3-manifolds with topologically distinct symplectic fillings, and is generalized to higher dimensions.

研究动机与目标

• 证明传奇链的拉格朗日填充的拓扑并非完全由托尔斯坦-本尼金不变量决定，从而反驳对奇特朗定理的自然推广。
• 解决博伊劳与福里耶关于 $S^3$ 中存在边界为非同胚代数曲线的链的问题。
• 构造具有相同欧拉示性数但拓扑互异的强辛填充的接触3-流形。
• 将构造方法推广至高维传奇子流形，使其具有任意大的切卡诺夫或生成族同调不变量。

提出的方法

• 通过在对称化流形中的迭代手柄附加与同伦，构造 $S^3$ 中的传奇链 $\Lambda_N$，使其具有 $N$ 个非同胚的精确拉格朗日填充。
• 利用基尼定理与同调计算，证明填充的首同调群秩数不同，从而证明其拓扑互异。
• 对辛填充实施双重分支覆盖构造，生成具有不同 $H_3$-秩的横截链的强辛填充。
• 采用旋转构造将二维填充提升至更高维传奇子流形，保持填充的拓扑互异性。
• 利用生成族与拉格朗日填充之间的相容性，证明不同填充诱导出不同的生成族同调不变量。
• 借助 [5]、[36] 与 [39] 的结果，将填充的相对上同调与传奇接触同调及生成族同调中的不变量关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S^3$ 中，一个定向传奇链的拉格朗日填充的拓扑是否完全由其托尔斯坦-本尼金不变量决定？
• RQ2 是否存在 $S^3$ 中的链，其边界为 $\mathbb{C}^2$ 中非同胚的复代数曲线，且与 $B^4$ 横截相交？
• RQ3 接触3-流形是否可具有相同欧拉示性数但拓扑互异的强辛填充？
• RQ4 高维中的传奇子流形是否可具有任意大的切卡诺夫或生成族同调不变量？

主要发现

• 对每个整数 $N>1$，存在一个传奇链 $\Lambda \subset (S^3, \xi_0)$，其具有 $p(N)$ 个非同胚的精确定向拉格朗日填充。
• 所构造的填充具有不同的首贝蒂数：$\operatorname{rank}H_1(L_k) = 2k$，从而证明其拓扑互异。
• 该构造产生在 $S^3$ 中的链，其边界为 $\mathbb{C}^2$ 中 $p(N)$ 个非奇异复代数曲线，且与 $B^4$ 的交集为两两非同胚的块。
• 存在接触3-流形，其具有 $N$ 个强辛填充，具有相同的欧拉示性数，但 $\operatorname{rank}H_3(X_k, Y) = k-1$，表明它们不能通过辛吹破相关联。
• 对每个 $n>1$ 与 $N>1$，存在一个在 $(S^{2n+1}, \xi_0)$ 中的连通传奇子流形，其具有 $N$ 个非同胚的连通精确拉格朗日填充。
• 传奇子流形在 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 中的切卡诺夫数与 GF 数可被构造为任意大，其构造基于相容填充与生成族。