[论文解读] Topologies on groups determined by sequences: Answers to several questions of I.Protasov and E.Zelenyuk

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2010

Medical and Biological Sciences参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文解决了Protasov和Zelenyuk关于由T-序列确定的群拓扑的若干开放问题。它证明了在Z中存在具有任意多项式增长的T-序列，构造了具有指定指数比值但不是环Z中T-序列的序列，并表明Z上两个T-序列拓扑的并集未必是完备的，也未必由T-序列决定；同时，还证明了一个群可以同时具有T-序列拓扑和度量拓扑，其并集不包含非平凡收敛序列。

ABSTRACT

We answer several questions of I.Protasov and E.Zelenyuk concerning topologies on groups determined by T-sequences. A special attention is paid to studying the operation of supremum of two group topologies.

研究动机与目标

• 解决关于Z群及其相关拓扑群中T-序列的存在性与结构的开放问题。
• 研究序列增长率与在其中收敛于零的群拓扑之间关系。
• 确定在可数群上，两个由T-序列决定的群拓扑的并集是否必然完备或由T-序列决定。
• 探索阿贝尔群上是否存在T-序列拓扑与度量拓扑，使得它们的并集不包含非平凡收敛序列。

提出的方法

• 在Z中构造具有指定增长率（例如 f(n) = r^n + n^2）的序列，并利用度量和总有界性性质，证明其在给定的度量完全有界拓扑中收敛于零。
• 应用Baire范畴定理和邻域系构造，验证序列在给定拓扑τ中收敛于零。
• 利用如下事实：序列 (a_n) 是T-序列当且仅当它在某个非离散的Hausdorff群拓扑中收敛于零。
• 通过证明在积拓扑 τ₁ × τ₂ 中对角线不闭，来证明 τ₁ ∨ τ₂ 的非完备性。
• 通过有限支集子群的归纳极限在 Z^ω_f 上构造群拓扑 τ，并通过 2^nZ 层次构造度量拓扑 τ′。
• 结合 τ 和 τ′ 中的收敛性，证明任何在 τ ∨ τ′ 中收敛的序列最终必须为零，从而证明不存在非平凡收敛序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Z中是否存在具有多项式增长的T-序列，尽管所有已知的T-序列均具有指数增长？
• RQ2 若Z中一个序列的比值极限 r > 1，是否必须在某个Hausdorff环拓扑下是Z中的T-序列？
• RQ3 在可数群上，两个由T-序列决定的群拓扑的并集是否必然完备或由T-序列决定？
• RQ4 可数阿贝尔群是否可以同时具有T-序列拓扑和度量群拓扑，使得它们的并集非离散但不包含非平凡收敛序列？

主要发现

• 对每个满足 lim(f(n+1)−f(n)) = ∞ 的递增函数 f: N → N，以及Z上的任意度量完全有界群拓扑τ，存在一个序列 (a_n) ∈ (Z, τ) 收敛于零，使得 lim(a_n / f(n)) = 1。
• 对每个 r > 1，存在一个序列 (a_n) ⊂ Z，满足 lim(a_{n+1}/a_n) = r，但该序列在环Z中不是T-序列，即在任何Hausdorff环拓扑中均不收敛于零。
• 存在一个由T-序列决定的可数拓扑阿贝尔群G，其包含一个闭子群H，H与G同胚但不由T-序列决定。
• 存在Z上的两个群拓扑τ₁, τ₂，每个均由T-序列决定，使得τ₁ ∨ τ₂ 不完备，因此不由T-序列决定。
• 存在一个可数阿贝尔群，其同时具有T-序列拓扑τ和度量拓扑τ′，使得τ ∨ τ′ 非离散但不包含非平凡收敛序列。
• 由T-序列 (a_n) 和 (a_n + c) 构造的Z上的并拓扑 τ₁ ∨ τ₂ 不完备，即使每个 τ_i 均由T-序列决定。