[论文解读] Topology and geometry of flagness and beltness of simple orbifolds

Zhi Lü, Lisu Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文将单纯多面体中的旗性与束性概念推广至单纯轨道丛，引入了轨道丛非挠性及轨道丛基本群中存在秩二阿贝尔子群的组合表征。主要结果表明：单纯长柄体为轨道丛非挠当且仅当其为旗性；其轨道丛基本群包含 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 子群当且仅当其包含 $\boldsymbol{\text{square}}$-束，从而将波戈列洛夫定理由三维右角双曲结构推广至单纯轨道丛情形。

ABSTRACT

We consider a class of right-angled Coxeter orbifolds, named as simple orbifolds, which are a generalization of simple polytopes. Similarly to manifolds over simple polytopes, the topology and geometry of manifolds over simple orbifolds are closely related to the combinatorics and orbifold structure of simple orbifolds. We generalize the notions of flag and belt in the setting of simple polytopes into the setting of simple orbifolds. To describe the topology and geometry of a simple orbifold in terms of its combinatorics, we focus on {\em simple handlebodies} (that is, simple orbifolds which can be obtained from simple polytopes by gluing some disjoint specific codimension-one faces). We prove the following two main results in terms of combinatorics, which can be understood as "Combinatorial Sphere Theorem" and "Combinatorial Flat Torus Theorem" on simple handlebodies: (A) A simple handlebody is orbifold-aspherical if and only if it is flag. (B) There exists a rank-two free abelian subgroup in $π_1^{orb}(Q)$ of an orbifold-aspherical simple handlebody $Q$ if and only if it contains an $\square$-belt. Furthermore, based on such two results and some results of geometry, it is shown that the existence of some curvatures on a certain manifold cover (manifold double) over a simple handlebody $Q$ can be characterized in terms of the combinatorics of $Q$. In 3-dimensional case, together with the theory of hyperbolic 3-manifolds, we can induce a pure combinatorial equivalent description for a simple $3$-handlebody to admit a right-angled hyperbolic structure, which is a natural generalization of Pogorelov Theorem.

研究动机与目标

• 将单纯多面体中的旗性与束性概念推广至单纯轨道丛。
• 利用其组合结构表征单纯长柄体的拓扑与几何性质。
• 为三维单纯长柄体是否存在右角双曲结构提供纯组合判别准则。
• 将单纯长柄体上对偶流形的曲率性质与底层轨道丛的组合结构相联系。
• 将波戈列洛夫关于双曲三维流形的定理推广至单纯轨道丛情形。

提出的方法

• 将单纯轨道丛定义为具有紧致连通底空间且其单纯复形（nerve）同调其边界三角剖分的右角考克斯eter轨道丛。
• 通过轨道丛基本群中不存在 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 子群，以及不存在由 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 生成的 $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-束，来定义单纯轨道丛的旗性。
• 利用戴维斯的基本构造，在单纯长柄体 $Q$ 上构造一个对偶流形 $M_Q$，其为 $Q$ 的有限覆盖，具有 $G = (\boldsymbol{\text{Z}}_2)^m$-作用。
• 通过短正合列 $1 \to \boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2 \to \boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2 \to (\boldsymbol{\text{Z}}_2)^m \to 1$，将轨道丛基本群中的 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 与 $Q$ 中 $\boldsymbol{\text{square}}$-束的存在性联系起来。
• 应用霍普夫-里诺定理与迈尔斯定理，分析对偶流形 $M_Q$ 上的曲率约束，将正曲率与非旗性、非束结构联系起来。
• 利用 $Q$ 的右角考克斯eter胞复叠，显式地将 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 表示为对右角考克斯eter群的迭代 HNN 扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，单纯长柄体为轨道丛非挠？其组合表征为何？
• RQ2 何种组合条件可保证单纯长柄体轨道丛基本群中存在秩二自由阿贝尔子群？
• RQ3 三维单纯长柄体能否具有右角双曲结构？其纯组合条件为何？
• RQ4 对偶流形 $M_Q$ 的曲率性质（非正、正截面曲率、正里奇曲率、正数量曲率）如何与 $Q$ 的组合结构相关？
• RQ5 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$-生成的 $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-束在决定 $Q$ 拓扑结构中起何作用？

主要发现

• 单纯长柄体 $Q$ 为轨道丛非挠当且仅当其为旗性，即其轨道丛基本群中不含 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 子群，且不包含由 $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-生成的 $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-束。
• 在 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 中存在秩二自由阿贝尔子群当且仅当 $Q$ 包含 $\boldsymbol{\text{square}}$-束。
• 在三维情形下，单纯长柄体具有右角双曲结构当且仅当其为旗性且不包含 $\boldsymbol{\text{square}}$-束，从而推广了波戈列洛夫定理。
• 若 $Q$ 的亏格大于零，则其对偶流形 $M_Q$ 的基本群 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 为无限群，故 $M_Q$ 无法具有正截面曲率或里奇曲率的度量。
• 对偶流形 $M_Q$ 具有正数量曲率度量当且仅当 $Q$ 不为旗性，且在三维情形下，这等价于 $Q$ 组合同构于从 $\boldsymbol{\text{Z}}_2 \times \boldsymbol{\text{Z}}_2$ 经一系列顶点截断所得的多面体。
• 在 $M_Q$ 上存在非正曲率当且仅当 $Q$ 为旗性且不包含 $\boldsymbol{\text{square}}$-束，且此类结构可通过不存在 $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-生成的 $\boldsymbol{\text{Z}}_2$-束实现组合表征。