[论文解读] Topology of representation spaces of surface groups in PSL(2,R) with assigned boundary monodromy and nonzero Euler number

Gabriele Mondello|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文通过将Hitchin关于平坦丛与Higgs丛的对应关系扩展至抛物（带 punctures）情形，完成了对具有指定边界单值性且非零欧拉数的曲面群在PSL(2,R)中的表示空间的拓扑分类。证明了这些表示空间的紧致分支精确对应于具有锥形奇点的双曲度量的单值性，将均匀化定理推广至具有受控边界行为的带 punctures 曲面。

ABSTRACT

In this paper we complete the topological description of the space of representations of the fundamental group of a punctured surface in SL(2,R) with prescribed behavior at the punctures and nonzero Euler number, following the strategy employed by Hitchin in the unpunctured case and exploiting Hitchin-Simpson correspondence between flat bundles and Higgs bundles in the parabolic case. This extends previous results by Boden-Yokogawa and Nasatyr-Steer. A relevant portion of the paper is intended to give an overview of the subject.

研究动机与目标

• 完成对具有指定边界单值性和非零欧拉数的曲面群在PSL(2,R)中的表示空间的拓扑描述。
• 将Hitchin关于平坦丛与Higgs丛的对应关系扩展至抛物情形，包括具有指定在 punctures 处单值性的带 punctures 曲面。
• 将表示空间的紧致分支表征为源自具有锥形奇点的双曲度量的那些分支。
• 在表示空间与抛物Higgs丛模空间之间建立同胚，从而通过代数几何实现对拓扑结构的分析。
• 将均匀化定理推广至具有锥形奇点和指定单值类型之带 punctures 曲面。

提出的方法

• 在抛物情形下利用Hitchin-Simpson对应关系，将表示与稳定抛物Higgs丛联系起来。
• 将该对应关系应用于具有固定抛物结构和度数约束的秩2抛物Higgs丛情形。
• 利用Higgs丛模空间上对合的固定点集，分析对应于PSL(2,R)-表示的实余维空间。
• 应用调和映射理论：若Higgs场的行列式为零，则调和映射是共形的，从而导出共形双曲度量。
• 应用具有锥形奇点的曲面的均匀化定理（McOwen–Troyanov），构造与单值性相容的双曲度量。
• 通过从边界单值性导出的度数和权重数据，建立表示空间与抛物Higgs丛模空间特定分支之间的同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有指定边界单值性和非零欧拉数的曲面群在PSL(2,R)中的表示空间中，哪些分支是紧致的？
• RQ2 在何种条件下，此类空间中的表示可作为具有锥形奇点的双曲度量的单值性出现？
• RQ3 Hitchin-Simpson对应关系如何扩展至抛物Higgs丛，以描述带 punctures 曲面上表示空间的拓扑结构？
• RQ4 具有指定边界单值性和非零欧拉数的PSL(2,R)-表示模空间的精确拓扑结构是什么？
• RQ5 在 punctures 处的权重和共轭类如何决定相关双曲度量的几何结构？

主要发现

• 当且仅当曲面的亏格g=0，且无任何 puncture 具有双曲或负幂等单值性，且欧拉数e = 1 - ||r||₁ 属于(0,1]时，表示空间Rep(Ṡ, PSL(2,R), c̄)_e的紧致分支存在。
• 紧致分支中的每一个表示都可作为在带 punctures 的曲面上具有在 punctures 处锥形奇点的双曲度量的单值性出现。
• 与紧致表示空间对应的Higgs丛分支具有平凡Higgs场（Φ=0），这意味着对应的调和映射是共形的。
• 在具有锥形奇点的带 punctures 球面上，唯一双曲度量的单值性对应于形式为(L_•^∨ ⊕ L_•, Φ)的抛物Higgs丛，其中Φ = (0 1; 0 0)。
• 线丛L_•的度数和抛物权重由锥形奇点的角确定，其中L_• = B(-½δ·P)且B² ≅ K_S。
• 表示空间与抛物Higgs丛模空间之间的对应关系是同胚，从而可通过代数几何实现对拓扑结构的分类。