[论文解读] Toric contact geometry in arbitrary codimension

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 2

一句话总结

该论文通过引入一个格拉斯曼诺夫动量映射，将环面接触几何推广至任意余维数 ℓ ≥ 1 的情形，该映射将环面接触流形编码为余切李代数中 ℓ 维子空间的格拉斯曼诺夫空间 Grℓ(t∗N) 中的多面体子集。其关键贡献是一条分类定理：紧致的、Reeb 类型的环面接触流形在同构意义下由其格拉斯曼诺夫像 Ξ 与一个层上同调群 H¹(Ξ, conT(D)) 唯一确定，该结果将德尔扎诺定理推广至更高余维数，并通过格拉斯曼诺夫空间的几何结构与无穷小接触微分同胚层的几何编码了局部不变量。

ABSTRACT

We define toric contact manifolds in arbitrary codimension and give a description of such manifolds in terms of a kind of labelled polytope embedded into a grassmannian, analogous to the Delzant polytope of a toric symplectic manifold.

研究动机与目标

• 将环面接触几何从余维数一推广至任意余维数 ℓ ≥ 1 的情形。
• 为高余维数下的环面接触流形定义德尔扎诺多面体的自然推广。
• 利用格拉斯曼诺夫像与层上同调，建立对紧致 Reeb 类型环面接触流形的分类。
• 说明高余维数下局部不变量的存在性源于格拉斯曼诺夫空间中多面体的灵活性，而非非组合性数据。

提出的方法

• 引入一个正则性条件（条件 1），以确保接触作用行为良好，并避免高余维数下的技术障碍。
• 将格拉斯曼诺夫动量映射定义为轨道空间 N/TN 到 Grℓ(t∗N) 的紧致多面体嵌入，推广了环面辛流形的动量多面体。
• 利用辛切片理论与哈密顿约化方法，构建环面接触作用的局部模型，借助接触流形的辛化空间 UD。
• 通过在零水平上对 eV × T × CS 进行辛约化，构造一个全局环面辛流形，利用 TS 的作用与动量映射 φ。
• 证明辛商流形 M 继承了 T 作用与 T-不变的各向异面叶层 G，其叶空间 N 微分同胚于 Ng,λ。
• 利用 R∗-作用与一个基本 1-形式 ιYω，证明对称正交于 G 的前推映射给出 N 上的一个接触分布 D。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将环面接触几何推广至余维数 ℓ > 1 的情形，其中存在局部不变量？
• RQ2 环面接触流形在任意余维数下的德尔扎诺多面体的适当推广是什么？
• RQ3 高余维数下的局部不变量是如何产生的？能否以组合方式编码？
• RQ4 层 conT(D) 在环面接触流形分类中的作用是什么？其第一上同调何时为零？

主要发现

• 紧致 Reeb 类型环面接触流形的格拉斯曼诺夫像 Ξ 在 Grℓ(t∗N) 中是德尔扎诺且多面体的，将德尔扎诺多面体推广至更高余维数。
• Reeb 类型的环面接触流形在同构意义下由其格拉斯曼诺夫像 Ξ 与层上同调群 H¹(Ξ, conT(D)) 唯一确定。
• 层 conT(D) 编码了无穷小接触微分同胚，由一个超定线性偏微分方程组定义，通常不具备对合性。
• 当流形为余维数一环面接触流形的乘积时，上同调群 H¹(Ξ, conT(D)) 为零，表明分类具有唯一性。
• 该构造通过辛约化生成一个全局环面辛流形，商空间 N 通过叶层正交补的前推继承了接触结构。
• 动量映射 µ: M →t∗ 诱导出一个映射 E: N →Ξ，且 N 上的分布 D 为接触分布，这由存在一个以叶层正交补为核的基本 1-形式 ιYω 所证明。