[论文解读] Torsion in the crystalline cohomology of singular varieties

Bhargav Bhatt|arXiv (Cornell University)|May 8, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文证明，具有普通双重点或孤立toric奇点的奇异射影概形的晶体上同调——即使这些概形是lci且约化的——通常在Witt环上的模是无限生成的。通过使用Illusie的导出de Rham上同调及其与晶体上同调的比较，作者表明，共轭谱序列和Frobenius提升上的凝聚上同调揭示了多个度数中的无限生成性，这挑战了人们对于奇异概形的晶体上同调仍保持良好行为的预期。

ABSTRACT

This note discusses some examples showing that the crystalline cohomology of even very mildly singular projective varieties tends to be quite large. In particular, any singular projective variety with at worst ordinary double points has infinitely generated crystalline cohomology in at least two cohomological degrees. These calculations rely critically on comparisons between crystalline and derived de Rham cohomology.

研究动机与目标

• 研究具有轻微奇点的奇异射影概形的晶体上同调结构。
• 理解为何在奇点存在时，即使在lci情形下，晶体上同调也会变得难以处理且无限生成。
• 探讨这种无限生成性是否为病理现象，还是深层几何或上同调结构的指示。
• 通过导出de Rham上同调建立一种分析奇异情形下晶体上同调的方法论框架。
• 确定是否存在在正特征域上具有有限维晶体上同调的奇异概形。

提出的方法

• 利用Illusie的导出de Rham上同调作为奇异概形的经典de Rham上同调的改进。
• 应用将导出de Rham上同调与lci概形的晶体上同调等同的比较定理。
• 使用导出de Rham上同调的共轭谱序列，其E2项源于Frobenius提升上的凝聚上同调。
• 通过余切复形及其外幂分析共轭滤子的分次项。
• 通过Hensel化和余切复形的étale不变性，将问题约化为奇点处的局部计算。
• 采用具有有限维分次项的滤子论证，以检测晶体上同调中的无限生成性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在具有有限维晶体上同调的奇异完备k-概形（关于k）？
• RQ2 奇异有限型k-代数是否可能具有在A^(1)上有限生成的晶体上同调？
• RQ3 奇异情形下晶体上同调的无限生成性是否为病理现象，还是深层上同调结构的标志？
• RQ4 导出de Rham上同调框架是否为奇异情形下计算晶体上同调提供了可靠方法？
• RQ5 在何种条件下，导出de Rham上同调的共轭谱序列能检测到晶体上同调中的无限生成性？

主要发现

• 对于任意具有孤立toric奇点（如曲线上的节点）的完备lci k-概形，其晶体上同调在至少两个上同调度数中为无限生成。
• 对于任意具有嵌入维数为N的普通双重点的完备lci k-概形，当p不整除定义方程的次数d时，晶体上同调群H^N_crys(X/k)与H^{N-1}_crys(X/k)均为无限生成的k-向量空间。
• 局部完全交奇异点的导出de Rham上同调具有共轭滤子，其分次项为有限维，且该滤子诱导出与余切复形外幂的移位直接和的同构。
• 无限生成性源于高阶导出de Rham复形的无限直和分解，该分解通过比较同构转化为晶体上同调中的无限生成性。
• 该方法甚至适用于非可提升的奇点（如高维普通双重点），通过使用W_2上的局部提升及Frobenius相容性实现。
• 结果对有理奇点与非对数极小奇点均成立，包括当p ≥ 7时，度数≤5的光滑曲线的锥。