[论文解读] Torsional Newton-Cartan Geometry and the Schrödinger Algebra

Eric Bergshoeff, Jelle Hartong+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 48被引用 27

一句话总结

该论文表明，以临界指数 $z$ 为参数对薛定谔代数进行规范化，可导出无扭曲的旋量牛顿-卡坦纳（TTNC）几何，这是一种在全息理论中描述 $z=2$ 利夫希茨时空边界时所依赖的几何结构。通过将中心荷提升为史特鲁克尔贝格对称性并引入特殊共形生成元，该形式化方法得以扩展，引入标量场 $\chi$，从而与全息设置中包含体中质量矢量场的情形完全匹配。

ABSTRACT

We show that by gauging the Schrödinger algebra with critical exponent $z$ and imposing suitable curvature constraints, that make diffeomorphisms equivalent to time and space translations, one obtains a geometric structure known as (twistless) torsional Newton-Cartan geometry (TTNC). This is a version of torsional Newton-Cartan geometry (TNC) in which the timelike vielbein $τ_μ$ must be hypersurface orthogonal. For $z=2$ this version of TTNC geometry is very closely related to the one appearing in holographic duals of $z=2$ Lifshitz space-times based on Einstein gravity coupled to massive vector fields in the bulk. For $z eq 2$ there is however an extra degree of freedom $b_0$ that does not appear in the holographic setup. We show that the result of the gauging procedure can be extended to include a Stückelberg scalar $χ$ that shifts under the particle number generator of the Schrödinger algebra, as well as an extra special conformal symmetry that allows one to gauge away $b_0$. The resulting version of TTNC geometry is the one that appears in the holographic setup. This shows that Schrödinger symmetries play a crucial role in holography for Lifshitz space-times and that in fact the entire boundary geometry is dictated by local Schrödinger invariance. Finally we show how to extend the formalism to generic torsional Newton-Cartan geometries by relaxing the hypersurface orthogonality condition for the timelike vielbein $τ_μ$.

研究动机与目标

• 阐明 $z=2$ 利夫希茨全息理论中边界对称性结构的几何起源。
• 解决通过薛定谔代数规范化得到的 TTNC 几何与 $z \neq 2$ 情形下全息边界几何之间的差异。
• 证明局域薛定谔不变性可完全决定利夫希茨全息理论中的边界几何。
• 通过引入史特鲁克尔贝格标量 $\chi$ 和特殊共形对称性，将 TTNC 形式化扩展以匹配全息设置。
• 通过放松时间类标量 tetrad 的超曲面正交性条件，将 TTNC 推广至一般旋量牛顿-卡坦纳几何。

提出的方法

• 对具有临界指数 $z$ 的薛定谔代数进行规范化，推导规范场与曲率约束。
• 施加曲率约束，使规范场退化为依赖连接，从而导出 TTNC 几何。
• 引入一个在中心荷生成元下变换的史特鲁克尔贝格标量 $\chi$，以恢复与全息设置的一致性。
• 增加特殊共形对称性，以消除 $z \neq 2$ 情形下存在的额外自由度 $b_0$。
• 从薛定谔代数的结构常数推导变换规则与协变场强。
• 通过放松 $\tau_\mu$ 的超曲面正交性条件，将形式化推广至一般 TNC 几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过对具有临界指数 $z$ 的薛定谔代数进行规范化，得到与 $z=2$ 利夫希茨时空边界相匹配的几何结构？
• RQ2 为何对 $z \neq 2$ 的标准规范化程序会引入全息设置中不存在的额外自由度 $b_0$？
• RQ3 如何解决规范化的薛定谔代数与全息边界几何之间的不匹配问题？
• RQ4 史特鲁克尔贝格标量 $\chi$ 在调和规范化程序与全息边界条件之间起到何种作用？
• RQ5 如何将形式化推广至超越无扭曲旋量牛顿-卡坦纳几何的范畴，以包含一般旋量结构？

主要发现

• 对 $z=2$ 的薛定谔代数进行规范化可导出无扭曲的旋量牛顿-卡坦纳（TTNC）几何，其与全息理论中 $z=2$ 利夫希茨时空的边界几何完全一致。
• 对于 $z \neq 2$，规范化过程引入了一个全息设置中不存在的额外自由度 $b_0$，表明存在不匹配。
• 通过引入标量 $\chi$ 将中心荷提升为史特鲁克尔贝格对称性，可解决 $z \neq 2$ 情形下的不匹配问题。
• 通过增加特殊共形对称性，可使规范场 $f_\mu$ 被消除，从而去除 $b_0$，并完全匹配全息边界几何。
• 所得到的扩展 TTNC 几何（包含 $\chi$）正是 $z=2$ 利夫希茨时空全息对偶中，体中存在质量矢量场时所实现的几何结构。
• 利夫希茨全息理论的完整边界几何被证明由局域薛定谔不变性所决定，整个结构均由规范化程序所导出。