[论文解读] Torus actions of complexity one in non-general position

Anton Ayzenberg, Vladislav Cherepanov|Osaka City University (Osaka City University)|May 12, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文在具有孤立不动点和平凡奇数阶有理同调的光滑紧致流形上构造了复杂度为一的有效哈密顿环作用，表明轨道空间可同伦等价于任意有限单纯复形的三重悬垂。通过在排列多面体簇上使用射影线丛并重复应用亚历山大多面体对偶性，作者证明轨道空间可在高阶同调中实现任意同调，甚至在上同调等变形式性条件下亦成立。

ABSTRACT

Let the compact torus $T^{n-1}$ act on a smooth compact manifold $X^{2n}$ effectively with nonempty finite set of fixed points. We pose the question: what can be said about the orbit space $X^{2n}/T^{n-1}$ if the action is cohomologically equivariantly formal (which essentially means that $H^{odd}(X^{2n};\mathbb{Z})=0$). It happens that homology of the orbit space can be arbitrary in degrees $3$ and higher. For any finite simplicial complex $L$ we construct an equivariantly formal manifold $X^{2n}$ such that $X^{2n}/T^{n-1}$ is homotopy equivalent to $Σ^3L$. The constructed manifold $X^{2n}$ is the total space of the projective line bundle over the permutohedral variety hence the action on $X^{2n}$ is Hamiltonian and cohomologically equivariantly formal. We introduce the notion of the action in $j$-general position and prove that, for any simplicial complex $M$, there exists an equivariantly formal action of complexity one in $j$-general position such that its orbit space is homotopy equivalent to $Σ^{j+2}M$.

研究动机与目标

• 研究当切空间权不在一般位置时，复杂度为一的环作用的轨道空间的拓扑性质。
• 确定在具有孤立不动点的上同调等变形式性作用下，轨道空间是否可在高阶同调中实现任意同调。
• 引入并研究不动点处切空间权的 $j$-一般位置概念。
• 通过悬垂构造显式流形，使轨道空间的同伦型实现任意给定的有限单纯复形。

提出的方法

• 将流形 $X_{\tilde{L}}^{2n}$ 构造为排列多面体簇上的射影线丛的全空间。
• 两次应用组合亚历山大多面体对偶性：首次将轨道空间与球面中子复形的补集联系起来，然后将轨道空间的同调与对偶复形的同调联系起来。
• 利用 $j$-一般位置条件控制特殊子复形 $K_{\text{sp}}$ 的维数，确保轨道空间中低阶同调的消失。
• 在单纯复形上定义一个类似悬垂的运算 $s(\bullet)$，在保持同伦型的同时增加邻接性，从而实现 $\Sigma^{j+2}M$ 作为轨道空间。
• 利用 $H^{\text{odd}}(X) = 0$ 蕴含上同调等变形式性，确保 Serre 丛谱序列在 $E_2$ 项崩溃。
• 通过一系列对偶性和悬垂同构，建立轨道空间 $Q^{n+1} = X^{2n}/T^{n-1}$ 同伦等价于 $\Sigma^3 L$。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有上同调等变形式性的复杂度为一的环作用的轨道空间是否可在阶数 3 及以上实现任意同调？
• RQ2 当不动点处的切空间权不在一般位置时，轨道空间会受到何种拓扑约束？
• RQ3 $j$-一般位置概念如何改进经典的一般位置条件，并影响轨道空间的同伦型？
• RQ4 任何有限单纯复形 $L$ 是否都能作为此类作用的轨道空间的同伦型实现？
• RQ5 排列多面体簇和射影线丛在构造具有预定轨道空间拓扑的此类作用中起什么作用？

主要发现

• 对任意有限单纯复形 $L$，存在一个紧致光滑流形 $X_{\tilde{L}}^{2n}$，满足 $H^{\text{odd}}(X_{\tilde{L}}^{2n}) = 0$，并存在一个具有孤立不动点的有效 $T^{n-1}$-作用，使得 $X_{\tilde{L}}^{2n}/T^{n-1} \simeq \Sigma^3 L$。
• 轨道空间 $Q^{n+1}$ 在阶数 0、1 和 2 上具有平凡的约化同调，且对所有 $i \geq 0$ 满足 $\widetilde{H}_{i+3}(Q^{n+1}) \cong \widetilde{H}_i(L)$。
• 所构造的流形 $X_{\tilde{L}}^{2n}$ 是排列多面体簇上射影线丛的全空间，使得作用为哈密顿作用且等变形式。
• 对任意有限单纯复形 $M$ 和整数 $j \geq 1$，存在一个处于 $j$-一般位置的作用，使得轨道空间同伦等价于 $\Sigma^{j+2}M$。
• 该构造依赖于重复应用亚历山大多面体对偶性，以及一个保持同伦型但增加邻接性的类似悬垂的运算 $s(\cdot)$。
• 当 $L = \partial\Delta^{n-1}$ 时对应一般位置，得到同调球面，但此情况为例外，不能代表一般非一般位置行为。