[论文解读] Torus localization and wall crossing for cosection localized virtual cycles

Huai-Liang Chang, Young‐Hoon Kiem+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文建立了代数几何中余截面局部化虚循环的虚拟拉回、环面局部化及墙穿跃公式，将经典结果推广至存在余截面的情形。它消除了先前工作中对技术性假设的依赖，证明了在等变作用与墙穿跃下，局部化虚基本类表现良好，其应用涵盖卡拉比-丘三流形的格罗莫夫-威滕与法安-贾里斯-鲁安-温廷不变量。

ABSTRACT

Since its introduction in 1995 by Li-Tian and Behrend-Fantechi, the theory of virtual fundamental class has played a key role in algebraic geometry, defining important invariants such as the Gromov-Witten invariant and the Donaldson-Thomas invariant. Quite a few methods for handling the virtual fundamental classes were discovered such as torus localization, degeneration, virtual pullback and cosection localization. Often combining these methods turns out to be quite effective. In this paper, we prove virtual pullback, torus localization and wall crossing formulas for cosection localized virtual cycles.

研究动机与目标

• 将虚拟拉回、环面局部化及墙穿跃公式扩展至余截面局部化虚循环的情形。
• 消除先前在环面局部化中所需的特定技术假设——即必须存在一个等变全局嵌入至光滑德利涅-曼福德堆栈——以实现更一般化的结果。
• 将经典普通虚循环的公式推广至余截面局部化情形，其中虚循环位于余截面零化集的补集上。
• 为通过余截面局部化计算朗道-金兹堡理论与卡拉比-丘三流形不变量提供工具。
• 在 $\mathbb{C}^*$-墙穿跃情形下，为余截面局部化虚循环建立墙穿跃公式，通过固定点集 $F$ 联系 $M_+$ 与 $M_-$。

提出的方法

• 通过适配马诺拉赫的方法，证明余截面局部化虚拉回公式，确保有理等价类位于与局部化吉辛映射相容的子堆栈中。
• 提出一种新的环面局部化公式，避免对全局等变嵌入或完美障碍理论的全局解析的依赖，仅需对固定点集上的虚法丛进行解析。
• 构建一个主空间 $\mathfrak{M} = [X \times \mathbb{P}^1 - \Sigma_- \times \{0\} - \Sigma_+ \times \{\infty\}]/\mathbb{C}^*$ 以分析墙穿跃。
• 利用 $\mathfrak{M}$ 上诱导的 $T$-等变完美障碍理论与余截面，定义 $M_+$、$M_-$ 与 $F$ 上的局部化虚循环。
• 对内在法丛的法丛应用局部化吉辛映射，定义 $[X]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}}$，确保与形变不变性相容。
• 取主空间上局部化虚循环在 $t=0$ 处的留数，推导出墙穿跃公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟拉回公式能否推广至余截面局部化虚循环的情形？
• RQ2 在不假设存在等变全局嵌入至光滑德利涅-曼福德堆栈的条件下，环面局部化公式是否仍然成立？
• RQ3 在简单的 $\mathbb{C}^*$-墙穿跃情形下，余截面局部化虚循环的墙穿跃公式行为如何？
• RQ4 $M_+$ 与 $M_-$ 上的局部化虚循环与固定点集 $F$ 之间存在何种关系？
• RQ5 主空间 $\mathfrak{M}$ 上的局部化虚循环能否用于推导局部化虚基本类的墙穿跃公式？

主要发现

• 余截面局部化虚循环的虚拟拉回公式成立，将马诺拉赫的结果推广至局部化情形。
• 环面局部化公式在无需等变全局嵌入或完美障碍理论全局解析的条件下得以证明，仅需对固定点集上的虚法丛进行解析。
• 余截面局部化虚循环的墙穿跃公式被确立为：在等变查沃理论中，$[M_+]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} - [M_-]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} = \mathrm{res}_{t=0}\frac{[F]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}}}{e(N^{\mathrm{vir}})}$。
• 在 $V = \mathbb{C}^d$ 且作用平凡、余截面为典范的情形下，$[V]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} = (-1)^d [O]$，与已知结果一致。
• 当余截面满射时，$[V]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} = 0$，但局部化环面局部化公式仍给出 $(-1)^d [O]$，表明该公式在该情况下不适用。
• 主空间构造使得墙穿跃公式可通过从 $\mathfrak{M}$ 上的局部化虚循环提取留数而导出。