[论文解读] Total Cofibres of Diagrams of Spectra

Thomas Huettemann|ArXiv.org|Aug 22, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文引入了关于偏序集索引的谱图的总余纤维构造，将其定义为子偏序集上同伦列的包含映射的同伦余纤维。当偏序集对满足稳定同伦群条件时，建立了同伦极限与映入总余纤维的映射谱之间的稳定等价性，推广了层上同调的谱序列，并通过Bousfield-Kan方法将结果扩展至谱和拓扑空间。

ABSTRACT

If Y is a diagram of spectra indexed by an arbitrary poset C together with a specified sub-poset D, we define the total cofibre Γ(Y) of Y as the strict cofibre of the map from hocolim_D (Y) to hocolim_C (Y). We construct a comparison map from the homotopy limit of Y to a looping of a fibrant replacement of Gamma (Y), and characterise those poset pairs (C,D) for which this comparison map is a stable equivalence. The characterisation is given in terms of stable cohomotopy of spaces related to C and D. For example, if C is a finite polytopal complex with underlying space an m-ball with boundary sphere D, then holim_C (Y) and Γ(Y) agree up to m-fold looping and up to stable equivalence. As an application of the general result we give a spectral sequence for the homotopy groups of Γ(Y) with E_2-term involving higher derived inverse limits of π_* (Y), generalising earlier constructions for space-valued diagrams indexed by the face lattice of a polytope.

研究动机与目标

• 为由偏序集对 $\mathcal{D} \subset \mathcal{C}$ 索引的谱图定义并研究其总余纤维，推广空间值图的构造。
• 从谱图的同伦极限构造一个到映射谱入总余纤维的比较映射。
• 精确刻画使该比较映射成为稳定等价的偏序集对 $\mathcal{D} \subset \mathcal{C}$。
• 将Bousfield-Kan同伦极限谱序列推广至总余纤维情形，特别是针对多面体复形上的图。
• 在 $|\mathcal{C}|$ 为PL球且 $|\mathcal{D}|$ 为其边界时，建立总余纤维与同伦极限之间的稳定等价性，至多 $m$-重循环。

提出的方法

• 将总余纤维 $\Gamma(Y)$ 定义为谱图 $Y$ 在偏序集 $\mathcal{C}$ 上的同伦列与子偏序集 $\mathcal{D}$ 上的同伦列之间的映射的同伦余纤维，即 $\Gamma(Y) = \mathrm{hocofib}(\mathrm{hocolim}_{\mathcal{D}}(Y) \to \mathrm{hocolim}_{\mathcal{C}}(Y))$。
• 构造一个比较映射 $\hat{\Gamma}_Y: \mathrm{holim}_{\mathcal{C}}(Y) \to \hom(Z, \hat{\Gamma}(Y))$，其中 $Z$ 是由 $\mathcal{C}$ 和 $\mathcal{D}$ 导出的单纯集，$\hat{\Gamma}(Y)$ 是 $\Gamma(Y)$ 的纤维化替换。
• 通过 $Z$ 的稳定同伦群表征 $\hat{\Gamma}_Y$ 的稳定等价性，证明 $\hat{\Gamma}_Y$ 是稳定等价当且仅当 $\pi_s^n(Z) = 0$ 对所有 $n < 0$ 成立。
• 利用Bousfield-Kan同伦极限谱序列，构造一个关于 $\pi_*(\Gamma(Y))$ 的谱序列，其 $E^2$-项涉及更高阶的导出逆极限 $\lim^p(\pi_*(Y))$。
• 证明当 $\mathcal{C}$ 为有限多面体复形且满足 $|\mathcal{C}| \cong B^m$、$|\mathcal{D}| \cong S^{m-1}$ 时，比较映射在 $m$-重循环后成为稳定等价。
• 将结果应用于拓扑谱图及通过Eilenberg-MacLane谱 $H\mathbb{Z}$ 的空间值图，恢复并推广了早期的谱序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，同伦极限到映射谱入总余纤维的比较映射是稳定等价？
• RQ2 谱的总余纤维构造与稳定同伦理论中经典同伦极限有何关系？
• RQ3 Bousfield-Kan同伦极限谱序列能否被调整以计算总余纤维的同伦群？
• RQ4 总余纤维与代数几何中层上同调（特别是toric簇情形）之间有何关系？
• RQ5 在具有球状偏序集的多面体复形上，其图的总余纤维同伦群由何种谱序列控制？

主要发现

• 比较映射 $\hat{\Gamma}_Y: \mathrm{holim}_{\mathcal{C}}(Y) \to \hom(Z, \hat{\Gamma}(Y))$ 是稳定等价当且仅当与偏序集对 $\mathcal{D} \subset \mathcal{C}$ 关联的单纯集 $Z$ 的稳定同伦群 $\pi_s^n(Z)$ 对所有 $n < 0$ 为零。
• 当 $\mathcal{C}$ 为有限多面体复形且满足 $|\mathcal{C}| \cong B^m$、$|\mathcal{D}| \cong S^{m-1}$ 时，总余纤维 $\Gamma(Y)$ 与同伦极限 $\mathrm{holim}_{\mathcal{C}}(Y)$ 在 $m$-重循环后成为稳定等价。
• 存在一个强收敛谱序列 $E^2_{p,q} = \lim^p(\pi_q Y) \Rightarrow \pi_{m+q-p}(\Gamma(Y))$，用于计算 $m$-维多面体球上图的总余纤维同伦群。
• 当 $Y = X \wedge H\mathbb{Z}$，其中 $X: \mathcal{C} \to \mathrm{Top}_*$ 为一图时，谱序列变为 $E^2_{p,q} = \lim^p(\tilde{H}_q(X;\mathbb{Z})) \Rightarrow \tilde{H}_{m+q-p}(\Gamma(X);\mathbb{Z})$，推广了多面体情形的早期结果。
• 谱的总余纤维构造是层上同调的稳定类比，取代了代数几何中整体截面与导出函子。
• 通过 $\lim^p(\pi_q Y)$ 构造的 $\Gamma(Y)$ 谱序列，为稳定同伦理论中高阶导出逆极限提供了同伦解释。