[论文解读] Total Forcing Sets in Trees

Randy Davila, Michael A. Henning|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文建立了树 $ T $ 的总控制数 $ F_t(T) $ 的紧致上下界，证明了 $ F_t(T) \leq \frac{1}{\Delta}((\Delta-1)n + 1) $，且等号成立当且仅当 $ T $ 属于某一特定树族；同时 $ F_t(T) \geq n_1 $，且当 $ T $ 为路径或星形树时等号成立。此外，本文证明 $ F_t(T) \geq F(T) + 1 $，且等号成立当且仅当 $ T \in \mathcal{H} $，并构造出总控制数 $ F_t(T) $ 与标准控制数 $ F(T) $ 之间差距可任意大的树。

ABSTRACT

A dynamic coloring of the vertices of a graph $G$ starts with an initial subset $S$ of colored vertices, with all remaining vertices being non-colored. At each discrete time interval, a colored vertex with exactly one non-colored neighbor forces this non-colored neighbor to be colored. The initial set $S$ is called a forcing set of $G$ if, by iteratively applying the forcing process, every vertex in $G$ becomes colored. If the initial set $S$ has the added property that it induces a subgraph of $G$ without isolated vertices, then $S$ is called a total forcing set in $G$. The minimum cardinality of a total forcing set in $G$ is its total forcing number, denoted $F_t(G)$. We prove that if $T$ is a tree of order $n \ge 3$ with maximum degree~$Δ$, then $F_t(T) \le \frac{1}Δ((Δ- 1)n + 1)$, and we characterize the infinite family of trees achieving equality in this bound. We also prove that if $T$ is a non-trivial tree with $n_1$ leaves, then $F_t(T) \ge n_1$, and we characterize the infinite family of trees achieving equality in this bound. As a consequence of this result, the total forcing number of a non-trivial tree is strictly greater than its forcing number. In particular, we prove that if $T$ is a non-trivial tree, then $F_t(T) \ge F(T)+1$, and we characterize extremal trees achieving this bound.

研究动机与目标

• 确定阶数为 $ n $、最大度为 $ \Delta $ 的树 $ T $ 的最大可能总控制数 $ F_t(T) $。
• 根据 $ n $ 和 $ \Delta $，刻画达到总控制数上界的无限树族。
• 建立下界 $ F_t(T) \geq n_1 $，其中 $ n_1 $ 为叶的个数，并刻画达到等号的树。
• 研究总控制数 $ F_t(T) $ 与标准控制数 $ F(T) $ 之间的关系，证明 $ F_t(T) \geq F(T) + 1 $，且等号成立当且仅当 $ T \in \mathcal{H} $。
• 构造总控制数 $ F_t(T) $ 与 $ F(T) $ 之间差距可任意大的树，以展示两者不变量之间的差距。

提出的方法

• 通过树的结构分解与基于度数的分析，推导出 $ F_t(T) $ 的上界，证明 $ F_t(T) \leq \frac{1}{\Delta}((\Delta-1)n + 1) $。
• 通过分析顶点度数与连通分量结构，刻画在上界中达到等号的极值树，特别关注最大度数的顶点。
• 使用数学归纳法与树的结构性质，证明下界 $ F_t(T) \geq n_1 $，表明在任意总控制集中，每个叶顶点必须被其邻居强制。
• 引入剪枝树 $ \mathrm{trim}(T) $ 的概念，将问题简化为无叶树，同时保持 $ F_t(T) $ 与 $ F(T) $ 不变，从而支持归纳论证。
• 定义树族 $ \mathcal{H} $（路径与星形树），证明 $ F_t(T) = F(T) + 1 $ 当且仅当 $ T \in \mathcal{H} $，通过强支撑顶点的分类讨论完成证明。
• 通过在路径上添加悬挂边，构造出总控制数与标准控制数差距可任意大的树族，证明对于长度为 $ k $ 的路径，有 $ F_t(T) = 2k $，$ F(T) = k $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阶数为 $ n $、最大度为 $ \Delta $ 的树 $ T $，其总控制数 $ F_t(T) $ 的最大可能值是多少？哪些树达到该上界？
• RQ2 哪些树满足 $ F_t(T) = n_1 $，其中 $ n_1 $ 为叶的个数？该树族如何刻画？
• RQ3 在何种条件下，$ F_t(T) = F(T) + 1 $ 成立？此类极值树的结构特征是什么？
• RQ4 总控制数 $ F_t(T) $ 与 $ F(T) $ 之间的差距能否被任意放大？若能，如何构造此类树？
• RQ5 在一般树中，$ F_t(T) $ 与 $ F(T) $ 之间的关系如何？两者之间的最小可能差距是多少？

主要发现

• 对于阶数 $ n \geq 3 $、最大度数为 $ \Delta $ 的树 $ T $，其总控制数满足 $ F_t(T) \leq \frac{1}{\Delta}((\Delta-1)n + 1) $，且等号成立当且仅当 $ T $ 是由一个度数为 $ \Delta $ 的中心顶点连接 $ \Delta-1 $ 条等长路径构成的特定树族。
• 对任意树 $ T $，有 $ F_t(T) \geq n_1 $，其中 $ n_1 $ 为叶的个数，且等号成立当且仅当 $ T $ 为路径，或 $ \mathrm{trim}(T) \cong K_{1,n-1} $，即 $ T \in \mathcal{H} $。
• 总控制数严格大于标准控制数：对所有非平凡树 $ T $，有 $ F_t(T) \geq F(T) + 1 $，且等号成立当且仅当 $ T \in \mathcal{H} $。
• 树族 $ \mathcal{H} $ 包含所有路径，或其剪枝树同构于星形图 $ K_{1,n-1} $ 的树，且这些正是达到 $ F_t(T) $ 与 $ F(T) $ 之间最小差距的树。
• 对每个整数 $ k \geq 1 $，存在一棵树 $ T $，使得 $ F_t(T) = F(T) + k $，通过在长度为 $ k $ 的路径的每个顶点上添加两条悬挂边构造，得到 $ F_t(T) = 2k $，$ F(T) = k $。